なるほど高校数学

本ブログでは、学生がつまづきやすい問題の解法や考え方のポイントなどをまとめた記事を掲載します。

● 問題検索窓

 

例1)「$x^5=1$」を含む問題を検索したい時は検索欄に「x^5=1」と入力
例2)「$\sum_{k=0}^n$」と「数列」を含む問題を検索したい時は検索欄に「\sum_{k=0}^n 数列」と入力
TeX(文書作成ソフト)での数式の表記に倣って検索してもらえると、解答が表示されやすくなります。

素因数分解と最大公約数・最小公倍数

 問題  次の数の組の最大公約数と最小公倍数をそれぞれ求めよ. (1) $36,90$ (2) $630,756$ (3) $120,270,495$ 丁寧に因数分解の計算をしましょう 検索キーワード: 因数分解, 素因…

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式の展開と因数分解を活用した証明問題

 問題  $\begin{cases} x+y+z=a \\ x^3+y^3+z^3=a^3 \end{cases}$ が成立するとき, $x,y,z$ の少なくとも $1$ つは $a$ と等しくなることを証明せよ. …

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最低次の文字に着目した因数分解

 問題  次の式を因数分解せよ. (1) $x^2+xy+2x+y+1$ (2) $x^2-xy-y^2+yz$ (3) $x^2+2z^2-xy+yz-3zx$ (4) $6x^2-4xy-7x+6y-3$ 最低次の文…

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2つの変量とその相関係数

 問題  2つの変量 $(X,Y)$ についての $9$ つのデータ $(x_i,y_i) (i=1,2,\cdots,9)$ について $\bar{xy}=\frac{5}{3}$, $\bar{x}\bar{y}=\…

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文字係数の方程式

 問題  $x$ についての方程式 $(a^2-1)x=a-1$ を解け. 文字係数の方程式は,変数の係数が$0$になる場合とそうでない場合とに分けて考えて解きましょう. 検索キーワード: 文字係数, $x$についての方…

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連立不等式の解

 問題  次の連立不等式を解け. \begin{cases} {} 3x+2>0 \ ―①& \\ 2x-3≦x+5 \ ―②& \end{cases} 連立不等式の解は,それぞれの不等式の解の共通範…

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やや複雑な因数分解の計算例

 問題  次の式をそれぞれ因数分解せよ. ・ $a^2b-b^2c+a^2c-ab^2$ ・ $-z^3+2xz^2+(y-x^2)z-xy$ 「最も次数の小さな文字で整理する」ことで因数分解の方向性が見えてきます.「降…

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ある不等式がすべての「正の数x」について成り立つ条件

 問題  次の不等式 $ax+b>0$ がすべての正の数 $x$ に対して成立するような $a,b$ の条件を求めよ. ある不等式が「全ての正の数$x$」について成り立つ条件と「全ての$x$」について成り立つ条件との考え…

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絶対値記号を含む方程式

 問題  方程式 $|2x-1|=3$ を解け. 「絶対値を含む=場合分け」 検索キーワード: 方程式, 絶対値, $|2x-1|=3$. >>なるほど高校数学の目次に戻る

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根号内が小数の場合の計算方法

 問題  $\sqrt{5.76}$ の根号を外しなさい. 小数の根号を外す場合の手順は,整数の根号を外す場合とほぼ同様ですが,慣れていないと焦ってしまうこともあります.類題を解いて,確実に計算できるようにしておきましょ…

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2次関数の最大値と最小値

 問題  次の関数の最大値と最小値を求めよ. (1) $y=-x^2+4x-3$ $(0≦x≦3)$ (2) $y=3x^2+6x-1$ $(1≦x≦3)$ (3) $y=-2x^2+12x$ $(0≦x≦6)$ 簡易的…

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不等式における係数と解の関係

 問題  不等式 $a(x-a)<x-1$ が成り立つような $x$ の範囲を求めよ. $x$ について解き,係数の値に注意して,丁寧に場合分けをして考えよう. 検索キーワード: 不等式, $a(x-a)<x-1$, 係…

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絶対値記号を含む方程式の解法

 問題  全ての実数 $x$ に対して $(m-1)x^2+(m-1)x+1>0$ が成り立つような実数 $m$ の値を求めよ. 絶対値記号の中の値の正負で場合分けをして考えよう. $|a| = \begin{cases…

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2次方程式が常に正の値をとる条件

 問題  全ての実数 $x$ に対して $(m-1)x^2+(m-1)x+1>0$ が成り立つような実数 $m$ の値を求めよ. 2次方程式が常に正の値をとる条件は「グラフが下に凸(2次の係数が正)かつx軸と交わらない(…

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3次式の因数分解

 問題  次の式を因数分解せよ. (1) $a^3-b^3+c^3+3abc$ (2) $x^3-8y^3-18xy-27$ 3次式の因数分解の公式(展開公式)は利用頻度は多くないかもしれませんが,基本形だけは頭の片隅に…

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「変量の変換の公式」と分散と標準偏差

 問題  あるグループでテストを実施したところ,点数を変量 $x$ と表すとして,平均点 $\bar{x}$ が$66$点,標準偏差 $S_x$ が$8$点であった.このとき,グループ全員の点数を2倍し,さらに5点加えた…

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2次方程式の解と係数の関係

 問題  $2x^2+x+1=0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき,以下の問いに答えよ. (1) $\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}$, ${\alpha}^2+…

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データの和の分散と標準偏差

🔄 最終更新日 2022年4月1日 by takara_semi  問題  表はあるグループB,Cのテストの点数に関するデータである.また,グループB,Cを合わせたグループをグループDとする.このとき,グループDの標準偏…

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三角比の基本

🔄 最終更新日 2022年1月22日 by takara_semi  問題  図の(1)(2)の角の正弦,余弦,正接の値を求めよ. 三角比は数学の大きな土台の一つです.数式だけでなく図も用いて,正確に理解しておきましょう…

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三角比と木の高さ

🔄 最終更新日 2022年1月22日 by takara_semi  問題  以下(i)~(iii)の条件を満たすような木の高さを求めよ. (i) 観測者の目の高さは$1.5m$であった. (ii) 木の前方の地点Aから…

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和事象の確率(番号札の取り出し)

 問題  1から9までの番号が書かれた札が各数字3枚ずつ,計27枚ある.番号札を袋に入れてよくかき混ぜた後に,2枚同時に取り出す.このとき,取り出された2枚の札が同じ数字であるか,2枚の数字の和が5以下である確率を求めよ…

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三角比の対称式

 問題  $\sin{\theta}+\cos{\theta}=\frac{1}{2}$ のとき,$\sin^3{\theta}+\cos^3{\theta}$ および $\tan{\theta}+\frac{1}{\t…

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チェバ・メネラウスの定理の活用

 問題  三角形 ABC の辺 AB, AC 上にそれぞれ点 R,Q があり,$AR:RB=5:1$, $AQ:QC=2:3$ である.線分 BQ と線分 CR との交点を O, 直線 AO と辺 BC との交点を P …

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三角形の成立条件とその応用

 問題  $a=4-x$, $b=4-2x$, $c=4-3x$ であり,$x$ を正の数とするとき以下の問に答えよ. (1) 3つの辺の長さが $a,b,c$ である三角形が存在するような $x$ の値の範囲を求めよ.…

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最大公約数と最小公倍数の整数問題

 問題  最大公約数と最小公倍数に関する以下の問に答えよ. (1) ある2つの自然数の最大公約数は $6$ であり,最小公倍数は $1260$ である.一方の自然数が $90$ のとき,他方の自然数を求めよ. (2) 最…

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サイコロを2回投げるときの事象の確率

 問題  1個のサイコロを2回続けて投げるとき,次の確率を求めよ. (1) 1回目は2以下の目,2回目は4以上の目が出る確率 (2) 少なくとも1回は5以上の目が出る確率 「少なくとも~」という事象の確率を求める場合には…

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√abの長さの線分の作図と方べきの定理

 問題  長さ $a,b$ の線分が与えられたとする.このとき,長さが $\sqrt{ab}$ である線分を作図せよ. 「方べきの定理」を上手く活用して作図しましょう. 検索キーワード: 方べきの定理, 長さ $a,b$…

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袋からカードを取り出すときの条件付き確率

 問題  袋の中にAと書かれたカードが2枚,Bと書かれたカードが1枚,Cと書かれたカードが1枚入っている.この袋からカードを1枚取り出し,カードに書かれている文字を記録して,袋に戻す.この試行を何度か繰り返し,同じ文字が…

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方程式の表す図形

 問題  次の方程式の表す図形を座標平面上に示せ. (1) $2x-3y+6=0$ (2) $y-2=0$ (3) $x+3=0$ 方程式と図形の関係に関する知識は多くの問題で必要となりますので,正確に理解しておきましょ…

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異なるn個の円順列(円卓に座る男女)

 問題  男女1人ずつの代表者を含む男女4人ずつ,計8人の学生が,円卓を囲んで席に着く.ただし,代表者2人は隣り合った2つの席に座る.男女が交互に座るときの座り方は何通りあるか求めよ. 異なる $n$ 個のものの円順列の…

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コイン投げとその確率(反復試行の確率)

 問題  1枚のコインを投げて表が出たらA君の勝ち,裏が出たらB君の勝ちというルールで,先に3勝した方が優勝とする.このとき以下の確率を求めよ. (1) A君が3戦全勝で優勝する確率 (2) A君が優勝する確率 反復試行…

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放物線の平行移動と対称移動

 問題  放物線 $y=2x^2$ を $x$ 軸方向に $3$, $y$ 軸方向に $1$ 平行移動し,さらに $x$ 軸に関して対称移動した放物線の方程式を求めよ. 平行移動と対称移動は応用範囲の広い知識ですので,正…

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三角形の内接円と外接円

 問題  △ABC があり,その内接円は辺 BC, CA, AB と,それぞれ点 P, Q, R で接している.また $\rm{AR}=1, \rm{BP}=3, \rm{CQ}=2$ であり,△ABCの内接円の半径を …

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分数関数と不等式の解(グラフの活用)

 問題  以下の不等式を解け. $$\frac{1}{x+2}<2x+3$$ 分数関数の分母が0になる場合の値の正負が不明(極限)の場合は,正確に説明できる形で解答するためにグラフを描いて解きましょう. 検索キーワード:…

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6人の生徒の組分け

 問題  6人の生徒を,以下のように組分けする場合,その分け方は何通りあるか求めよ. (1) 2人ずつA,B,Cの3組に分ける場合 (2) 2人ずつ3組に分ける場合 (2) で出てくる $3!$ は部屋A,B,Cの並べ方…

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三角比(三角関数)の基本計算

🔄 最終更新日 2022年1月23日 by takara_semi  問題  $\tan{\theta}={-\frac{5}{12}}$ のとき $\sin{\theta}, \cos{\theta}$ の値をそれぞれ…

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分数関数を含む不等式の解法

🔄 最終更新日 2021年11月25日 by takara_semi

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2次関数の最小値と平方完成

 問題  2次関数 $f(x)=2x^2+4x+k$ の最小値が $3$ であった.このとき,実数 $k$ の値を求めよ. 2次関数の最大最小値の計算には,平方完成を利用しましょう(軸・頂点の計算と同様). 検索キーワー…

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5人でじゃんけん

🔄 最終更新日 2021年7月15日 by takara_semi  問題  5人がじゃんけんを1回する場合,以下の確率をそれぞれ求めよ. (1) 1人だけが勝つ確率 (2) 2人が勝つ確率 (3) あいこになる確率 あ…

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保護中: 範囲指定のない三角不等式

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不等式を満たす実数の組の集合の図示

 問題  以下の①または②の不等式を満たすような実数の組 $(a,b)$ の集合を $ab$ 平面上に図示せよ. ① … $b(a+b-1)≦0$ $② … \begin{cases} &b≦\frac{1}{…

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関数の増減と極値

 問題  以下の関数の増減を調べ,極値を求め,グラフを描け. (1) $y=3x^4+4x^3-12x^2+5$ (2) $y=x^4-8x^2+2$ 求めたグラフや増減表の正しさを簡易的にチェックできるように,$n$次…

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三角関数と方程式

 問題  以下の方程式を解け.ただし $0≦\theta<2\pi$ とする. (1) $\cos{2\theta}+\sin{\theta}=1$ (2) $\sin{2\theta}+\cos{\theta}=0$ …

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複雑な式の有理化と簡単化

 問題  次の式を簡単にしなさい. $$\frac{x+\sqrt{2}}{x^2+\sqrt{2}x+1}-\frac{x-\sqrt{2}}{x^2-\sqrt{2}x+1}$$ 有理化の基本は $(\sqrt{A}…

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平方根関数の平行移動と値域・定義域

 問題  $y=-\sqrt{3-2x}$ を $x$ 軸方向に $-1$, $y$ 軸方向に $-3$ 平行移動して得られる関数の定義域および値域を求めよ. 平方根関数の定義域は,平方根内の値が正となる $x$ の値の…

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逆関数と合成関数

 問題  $f(x)=2x-1$, $g(x)=\frac{1}{x+3}$ であるとき,以下の関数を求めよ. (1) $f^{-1}(x)$ (2) $g^{-1}(x)$ (3) $(f \circ g)^{-1}(…

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分数不等式の解法

 問題  分数不等式 $\frac{x-3}{x-2}≧\frac{1}{2}x-1$ を解け. 分数不等式を解く場合は「分数関数のグラフと1次関数のグラフ」を描き,不等式を満たす範囲を求めましょう.(分数関数の分母をは…

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双曲線を与える分数関数

 問題  次のような $xy$ 平面上の双曲線を与える分数関数をそれぞれ求めよ. ・$x$ 軸と $y$ 軸を漸近線にもち,点 $(-3,2)$ を通る双曲線. ・$x=-3, y=1$ を漸近線にもち,原点を通る双曲線…

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基本対称式を活用した計算

 問題  以下の問を解け. (1) $x=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}$, $y=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}$ のとき $x^2+xy+y^2$ の値を求めよ. (2…

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逆関数との共有点

 問題  $f(x)=\sqrt{x+2}$ であるとき,$y=f(x)$ のグラフと $y=f^{-1}(x)$ のグラフの共有点の座標を求めよ. 逆関数の定義域と値域に注意して,正確に計算しましょう.また,逆関数との…

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剰余定理とその応用

 問題  整式 $P(x)=x^3-ax^2+b$ が $x-1$ で割り切れる.また $a,b$ は定数とする.このとき,以下の問いに答えよ. (1) 定数 $b$ を $a$ の式で表せ. (2) $x$ についての…

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三角関数と加法定理

 問題  $\alpha$ は第1象限,$\beta$ は第2象限の角である.また $\cos{\alpha}=\frac{1}{3}$, $\cos{\beta}=-\frac{7}{9}$ である.このとき,$\si…

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対数関数を含む方程式の計算

 問題  $\frac{1}{3}\log_5 500-\log_5 \sqrt[3]{4}$ を計算せよ. $\log_a A-\log_a B=\log_a \frac{A}{B}$ などの対数関数の持つ性質は確実に…

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絶対値を含む関数がつくる面積の求積(1/6公式)

 問題  図のように直線 $L : y=mx$ と曲線 $C : y=|x^2-x|$ があり,異なる共有点の個数は3個である.また $L,C,x$軸に囲まれた図の面積を $S_1, S_2, S_3, S_4$ とし,…

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円の内部に他の円が収まる条件

 問題  円 $(x+1)^2+(y-3)^2=r^2$ が円 $(x-2)^2+(y+1)^2=49$ の内部にあるような半径 $r$ の値の範囲を求めよ. 大きい円の中に小さい円が入るための条件:「(2つの円の中心間…

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対数を含む数式の計算

 問題  $p$についての方程式 $1-p=\sqrt{2}\sqrt{1+p^2}\times \frac{1}{2}$ を解け. 対数関数を含む方程式を解く場合,得られた解が与式を満たすかどうかを必ず確認しましょう.…

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動径が第4象限にある時の三角関数の値

 問題  $\theta$ の動径が第$4$象限にあり $\cos{\theta}=\frac{5}{13}$ である.このとき $\sin{\theta}$, $\tan{\theta}$ の値を求めよ. 簡易的な図を…

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条件を満たす点の軌跡の方程式

 問題  座標平面上に円 $C$ (中心 $(x,y)=(\sqrt{3},0)$, 半径$1$)と点A$(0,a)$ ($a$ は正の定数) がある.円 $C$ 上に点Pを取り,線分APを $1:2$ に内分する点をQ…

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2次方程式の解と四捨五入と不等式

 問題  2次方程式 $x^2+nx-5=0$ は実数解を持ち,2つの実数解のうち大きい方の解を小数第1位で四捨五入すると$4$になる.このとき,条件を満たす整数 $n$ を求めよ. 「四捨五入=不等式を解く」を念頭に置…

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解と係数の関係の応用

🔄 最終更新日 2022年3月31日 by takara_semi  問題  2次方程式 $2x^2-3x+5=0$ の解を $\alpha$, $\beta$ とするとき,以下の値を求めよ. (1) $\frac{1}…

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平方根が整数となる条件

 問題  $\sqrt{2000-5n}$ が整数となる自然数 $n$ は何個あるか求めよ. 平方根が整数となる条件は $\sqrt{A^2}$ の形で表せること. 検索キーワード: 平方根, 整数問題, $\sqrt{…

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三角形とベクトル

 問題  三角形 $\rm{OAB}$ の辺 $\rm{AB}$ を $3:4$ に内分する点を $\rm{C}$ とする.さらに,三角形 $\rm{OAB}$ の辺 $\rm{OA}$ を $2:1$ に内分する点 $…

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総和の計算と等比数列

 問題  $$S=\sum_{k=1}^{n} k \cdot 5^{k-1}$$ を計算せよ. 総和の問題において $S=\sum_{k=1}^{n} k \cdot a^{k-1}$ の形の計算では $S-aS$ を…

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総和と数列

 問題  数列 $\{ a_n \}$ において $$ \sum_{k=1}^{n}5^{-k}k(k+1)a_k = 2 \left( n+\frac{1}{4} \right)^2 $$ が成り立つとき,次の問いに答…

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複雑な三角方程式の解法

 問題  三角関数に関する以下の問を解け. (1) $\sin^2{x}+\cos^2{x} =1$ を利用し,$\sin{x} \cos{x}$ を $t=\sin{x}+\cos{x}$ として $t$ の式で表せ.…

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三角形と1次独立なベクトル

 問題  三角形 $\rm{OAB}$ において,辺 $\rm{OA}$ を $1:2$ に内分する点を $\rm{M}$,辺 $\rm{OB}$ を $1:3$ に内分する点を $N$,直線 $\rm{AN}$ と直線…

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三角形の性質の応用

🔄 最終更新日 2022年3月31日 by takara_semi  問題  $\rm{△ABC}$ の $\rm{∠A}$ およびその外角の二等分線と直線 $\rm{BC}$ との交点をそれぞれ $\rm{D,E}$ …

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ベクトル方程式が表す内分と線分

🔄 最終更新日 2022年1月23日 by takara_semi  問題  三角形 $\rm{ABC}$ の頂点が $\rm{A(\overrightarrow{a})}$, $\rm{B(\overrightarro…

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複数の数列と漸化式

🔄 最終更新日 2021年7月15日 by takara_semi  問題  自然数$n$について成り立つ数列 $a_n, b_n ,c_n, p_n$ について $p_{n+1}=\frac{1}{3}(a_n+b_n…

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格子点と数列と極限

 問題  座標平面上の点 $(p,q)$ で,$p$ と $q$ がともに整数となる点を格子点という.以下の(1)~(3)を解け. (1) 自然数 $n$ に対し,$p+2q=n$, $p>0$, $q>0$ を満たす格…

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因数定理の応用

 問題  $f(x)$ が $(x-1)^2$ で割り切れるとき,$f(1)=f'(1)=0$ となることを説明せよ. 因数定理は,剰余定理の余りが$0$となる場合に成り立つ定理です.どちらも上手く活用できるように理解し…

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極限値の計算と分子の有理化

 問題  以下の極限を計算せよ. $$\lim_{n \to -3}\frac{\sqrt{x+4}-1}{x+3}$$ 極限を求められる形に式を変形するパターンは,ある程度限られています.類題を多く解き,パターンを理解…

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定積分による求積(放物線とx軸)

 問題  放物線 $y=x^2-ax (a>0)$ と $x$ 軸とで囲まれた領域の面積を $S$ とする.$S=\frac{9}{2}$ であるとき,定数 $a$ の値を求めよ. 定積分を用いた領域の面積の求積の基本を…

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3乗根を含む数式の極限値

🔄 最終更新日 2021年7月15日 by takara_semi  問題  $\lim_{n \to \infty} (\sqrt[3]{n^3-n^2}-n )$ の値を求めよ. 3乗根を外す公式を上手く利用しよう …

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