例１）「$x^5=1$」を含む問題を検索したい時は検索欄に「x^5=1」と入力
例２）「$\sum_{k=0}^n$」と「数列」を含む問題を検索したい時は検索欄に「\sum_{k=0}^n 数列」と入力
※TeX(文書作成ソフト)での数式の表記に倣って検索してもらえると、解答が表示されやすくなります。
絶対値を含む方程式と不等式の解法
🔄 最終更新日 2024年1月22日 by takara_semi 問題 $x$ についての方程式，不等式を解け． (1) $|2 x-4|=-4 x$ (2) $|2 x-10|検索キーワード：
分数を含む方程式
🔄 最終更新日 2024年1月22日 by takara_semi 問題 次の方程式の解を求めよ． $$5\left(\frac{x-2}{2}-\frac{3 x+7}{8}\right)=\frac{6 x+1}…
対偶証明法（対偶法）を利用した問題
🔄 最終更新日 2024年1月22日 by takara_semi 問題 整数$n$について，$3n+5$が偶数ならば$n$は奇数であることを，対偶を利用して証明せよ． 対偶証明法（対偶法）は，すんなり納得がいく人と…
3次の項の係数
🔄 最終更新日 2024年1月22日 by takara_semi 問題 $\left(x^4-2 x^3+3 x^2-4 x+5\right)\left(6 x^2-7 x+8\right)$ を展開したときの， …
整数部分と小数部分に関する問題
🔄 最終更新日 2024年1月22日 by takara_semi 問題 $\frac{1}{3-\sqrt{7}}$ の整数部分を $a$ , 小数部分を $b$ とするとき, $a^2+2 a b+4 b^2$ …
2次関数がある点を通る場合
🔄 最終更新日 2024年1月22日 by takara_semi 問題 $y=a x^2$ のグラフが次の点を通るときの $a$ の値を求めよ． (1) $(2,3)$ (2) $(-4,-2)$ 2次関数の基本は…
不等式と必要条件・十分条件・必要十分条件
🔄 最終更新日 2024年1月22日 by takara_semi 問題 自然数 $m, n$ に関する条件 $p, q, r, s$ を次のように定める． $p: m>1 \text { または } n>1 q: …
異なる2つの実数解を持つ2次方程式の係数
🔄 最終更新日 2023年8月8日 by takara_semi 問題 $k$ を実数の定数とする. 次の $x$ についての方程式 $$ k x^2-4 x-4=0 $$ が異なる 2 つの実数解をもつための $k…
数式が表すグラフ(直線の方程式)
🔄 最終更新日 2023年8月8日 by takara_semi 問題 次の式が表すグラフを描け． (1) $3 x+2 y+6=0$ (2) $x=2$ (3) $y=-3$ より発展的な問題に取り組む準備として，…
不等式における係数と解の関係
🔄 最終更新日 2024年1月22日 by takara_semi 問題 不等式 $a(x-a)＜x-1$ が成り立つような $x$ の範囲を求めよ． $x$ について解き，係数の値に注意して，丁寧に場合分けをして考…
ある不等式がすべての「正の数x」について成り立つ条件
🔄 最終更新日 2024年1月22日 by takara_semi 問題 次の不等式 $ax+b＞0$ がすべての正の数 $x$ に対して成立するような $a,b$ の条件を求めよ． ある不等式が「全ての正の数$x$…
多項式の展開と工夫（置換）
🔄 最終更新日 2024年1月22日 by takara_semi 問題 $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)$ を展開して整理せよ． そのまま工夫なしに展開しても同様の結果が得られますが，計算速度と正確さを上…
2次関数の変化の割合の基礎
🔄 最終更新日 2024年1月22日 by takara_semi 問題 関数 $y=2 x^2$ について，次の問いに答えよ． (1) $x$ の值が $0$ から $3$ まで変化するときの変化の割合を求めよ． …
2次方程式と絶対不等式
🔄 最終更新日 2024年1月22日 by takara_semi 問題 (1) すべての実数 $x$ について, 2次不等式 $x^2+2 k x-3 k+4>0$ が成り立つような定数 $k$ の値の範囲を求めよ…
領域と最大値・最小値について
🔄 最終更新日 2024年1月22日 by takara_semi 問題 $x y$ 平面において連立不等式 $x-2 y+2 \geqq 0$, $2 x+y+4 \geqq 0$, $3 x-y-9 \leqq …
2次方程式の解の求め方
🔄 最終更新日 2024年1月22日 by takara_semi 問題 以下の方程式の解を求めよ． (1) $x^2-4=0$ (2) $(x-3)^2=2$ 2次方程式の解の求め方は解の公式が基本ですが，容易な変…
2次方程式が常に正の値をとる条件
🔄 最終更新日 2024年1月22日 by takara_semi 問題 全ての実数 $x$ に対して $(m-1)x^2+(m-1)x+1＞0$ が成り立つような実数 $m$ の値を求めよ． 2次方程式が常に正の値…
3次式の因数分解
🔄 最終更新日 2024年1月22日 by takara_semi 問題 次の式を因数分解せよ． (1) $a^3-b^3+c^3+3abc$ (2) $x^3-8y^3-18xy-27$ 3次式の因数分解の公式（展…
絶対値記号を含む方程式の解法
🔄 最終更新日 2023年2月4日 by takara_semi 問題 全ての実数 $x$ に対して $(m-1)x^2+(m-1)x+1＞0$ が成り立つような実数 $m$ の値を求めよ． 絶対値記号の中の値の正負…
やや複雑な因数分解の計算例
🔄 最終更新日 2023年2月4日 by takara_semi 問題 次の式をそれぞれ因数分解せよ． ・ $a^2b-b^2c+a^2c-ab^2$ ・ $-z^3+2xz^2+(y-x^2)z-xy$ 「最も次数…
和事象の確率（番号札の取り出し）
🔄 最終更新日 2024年3月18日 by takara_semi 問題 1から9までの番号が書かれた札が各数字3枚ずつ，計27枚ある．番号札を袋に入れてよくかき混ぜた後に，2枚同時に取り出す．このとき，取り出された…
異なるn個の円順列（円卓に座る男女）
🔄 最終更新日 2024年1月22日 by takara_semi 問題 男女1人ずつの代表者を含む男女4人ずつ，計8人の学生が，円卓を囲んで席に着く．ただし，代表者2人は隣り合った2つの席に座る．男女が交互に座ると…
方程式の表す図形
🔄 最終更新日 2024年1月22日 by takara_semi 問題 次の方程式の表す図形を座標平面上に示せ． (1) $2x-3y+6=0$ (2) $y-2=0$ (3) $x+3=0$ 方程式と図形の関係に…
絶対値を含む数式と必要十分条件
🔄 最終更新日 2024年1月22日 by takara_semi 問題 実数 $x, y$ に関する条件 $p$ を $$p:|x y|>0$$ と定める． (1) 次の（ア）に当てはまるものを⓪～③の中から一つ選…
√abの長さの線分の作図と方べきの定理
🔄 最終更新日 2024年1月22日 by takara_semi 問題 長さ $a,b$ の線分が与えられたとする．このとき，長さが $\sqrt{ab}$ である線分を作図せよ． 「方べきの定理」を上手く活用して…
余弦定理と正弦定理の応用
🔄 最終更新日 2024年1月22日 by takara_semi 問題 $\triangle \mathrm{ABC}$ において $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=6$, $\cos \angle…
図形の性質を利用した合同の証明
🔄 最終更新日 2023年8月8日 by takara_semi 問題 三角形 $\mathrm{ABC}$ について，頂点 $\mathrm{A}$ から辺 $\mathrm{BC}$ に下した垂線の足を $\ma…
メネラウスの定理とその応用
🔄 最終更新日 2023年8月8日 by takara_semi 問題 $\triangle \mathrm{ABC}$ の3辺 $\mathrm{BC}, \mathrm{CA}, \mathrm{AB}$ をそれ…
チェバ・メネラウスの定理の活用
🔄 最終更新日 2023年4月2日 by takara_semi 問題 三角形 ABC の辺 AB, AC 上にそれぞれ点 R,Q があり，$AR:RB=5:1$, $AQ:QC=2:3$ である．線分 BQ と線分…
三角比の対称式
🔄 最終更新日 2023年3月25日 by takara_semi 問題 $\sin{\theta}+\cos{\theta}=\frac{1}{2}$ のとき，$\sin^3{\theta}+\cos^3{\the…
放物線の平行移動と対称移動
🔄 最終更新日 2024年1月22日 by takara_semi 問題 放物線 $y=2x^2$ を $x$ 軸方向に $3$, $y$ 軸方向に $1$ 平行移動し，さらに $x$ 軸に関して対称移動した放物線の…
袋からカードを取り出すときの条件付き確率
🔄 最終更新日 2023年2月4日 by takara_semi 問題 袋の中にAと書かれたカードが2枚，Bと書かれたカードが1枚，Cと書かれたカードが1枚入っている．この袋からカードを1枚取り出し，カードに書かれて…
コイン投げとその確率（反復試行の確率）
🔄 最終更新日 2022年11月6日 by takara_semi 問題 1枚のコインを投げて表が出たらA君の勝ち，裏が出たらB君の勝ちというルールで，先に3勝した方が優勝とする．このとき以下の確率を求めよ． (1)…
最大公約数と最小公倍数の整数問題
🔄 最終更新日 2022年11月6日 by takara_semi 問題 最大公約数と最小公倍数に関する以下の問に答えよ． (1) ある2つの自然数の最大公約数は $6$ であり，最小公倍数は $1260$ である．…
三角形の内接円と外接円
🔄 最終更新日 2022年10月21日 by takara_semi 問題 △ABC があり，その内接円は辺 BC, CA, AB と，それぞれ点 P, Q, R で接している．また $\rm{AR}=1, \rm{…
三角形と余弦定理
🔄 最終更新日 2022年7月26日 by takara_semi 問題 三角形 ABC において ∠BAC=$45^{\circ}$, $\rm{AB}=\sqrt{3}+1$, $\rm{AC}=\sqrt{6}…
三角形の成立条件とその応用
🔄 最終更新日 2022年7月26日 by takara_semi 問題 $a=4-x$, $b=4-2x$, $c=4-3x$ であり，$x$ を正の数とするとき以下の問に答えよ． (1) 3つの辺の長さが $a,…
サイコロを2回投げるときの事象の確率
問題 1個のサイコロを2回続けて投げるとき，次の確率を求めよ． (1) 1回目は2以下の目，2回目は4以上の目が出る確率 (2) 少なくとも1回は5以上の目が出る確率 「少なくとも～」という事象の確率を求める場合には…
分数関数と不等式の解（グラフの活用）
問題 以下の不等式を解け． $$\frac{1}{x+2}＜2x+3$$ 分数関数の分母が0になる場合の値の正負が不明(極限)の場合は，正確に説明できる形で解答するためにグラフを描いて解きましょう． 検索キーワード：…
基本対称式を活用した計算
🔄 最終更新日 2024年3月18日 by takara_semi 問題 以下の問を解け． (1) $x=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}$, $y=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3…
複雑な式の有理化と簡単化
🔄 最終更新日 2024年1月22日 by takara_semi 問題 次の式を簡単にしなさい． $$\frac{x+\sqrt{2}}{x^2+\sqrt{2}x+1}-\frac{x-\sqrt{2}}{x^2…
合成関数の計算の基礎
🔄 最終更新日 2024年1月22日 by takara_semi 問題 $f(x)=2 x-1, g(x)=x^2+1$ とおくとき，次の関数を求めよ． (1) $(f \circ g)(x)$ (2) $(g \…
分数関数を含む方程式の解
🔄 最終更新日 2024年1月22日 by takara_semi 問題 次の方程式の解を求めよ． (1) $\frac{1}{x+2}=2 x+3$ (2) $\frac{x}{x+1}=3 x-1$ 分数関数を含…
放物線と直線に囲まれた不等式の条件を満たす領域の図示
🔄 最終更新日 2023年8月8日 by takara_semi 問題 タロウ君は「$xy$ 平面上の原点と点 $(1,2)$ を結ぶ線分（両端を含む）を $L$ とする．曲線 $y=x^2+a x+b$ が $L$…
根号を含む方程式の解法
🔄 最終更新日 2023年8月8日 by takara_semi 問題 次の方程式の解を求めよ． $\sqrt{x+2}=3x-4$ 根号の中が正の値をとることに注意しながら，その条件を満たす解を，丁寧に計算して求め…
分数に変数を含む関数の極限
🔄 最終更新日 2023年8月8日 by takara_semi 問題 次の極限値を求めよ． (1) $\lim _{x \rightarrow+0} \frac{1}{x}$ (2) $\lim _{x \righ…
2次方程式の解と四捨五入と不等式
🔄 最終更新日 2024年1月22日 by takara_semi 問題 2次方程式 $x^2+nx-5=0$ は実数解を持ち，2つの実数解のうち大きい方の解を小数第1位で四捨五入すると$4$になる．このとき，条件を…
双曲線を与える分数関数
🔄 最終更新日 2023年3月25日 by takara_semi 問題 次のような $xy$ 平面上の双曲線を与える分数関数をそれぞれ求めよ． ・$x$ 軸と $y$ 軸を漸近線にもち，点 $(-3,2)$ を通る…
平方根関数の平行移動と値域・定義域
🔄 最終更新日 2023年3月25日 by takara_semi 問題 $y=-\sqrt{3-2x}$ を $x$ 軸方向に $-1$, $y$ 軸方向に $-3$ 平行移動して得られる関数の定義域および値域を求…
分数不等式の解法
🔄 最終更新日 2024年1月22日 by takara_semi 問題 分数不等式 $\frac{x-3}{x-2}≧\frac{1}{2}x-1$ を解け． 分数不等式を解く場合は「分数関数のグラフと1次関数のグ…
条件を満たす点の軌跡の方程式
🔄 最終更新日 2023年2月4日 by takara_semi 問題 座標平面上に円 $C$ （中心 $(x,y)=(\sqrt{3},0)$, 半径$1$）と点A$(0,a)$ ($a$ は正の定数) がある．円…
不等式を満たす実数の組の集合の図示
🔄 最終更新日 2022年12月31日 by takara_semi 問題 以下の①または②の不等式を満たすような実数の組 $(a,b)$ の集合を $ab$ 平面上に図示せよ． ① … $b(a+b-1)≦0$ $…
関数の増減と極値
🔄 最終更新日 2022年12月25日 by takara_semi 問題 以下の関数の増減を調べ，極値を求め，グラフを描け． (1) $y=3x^4+4x^3-12x^2+5$ (2) $y=x^4-8x^2+2$…
逆関数と合成関数
🔄 最終更新日 2022年12月25日 by takara_semi 問題 $f(x)=2x-1$, $g(x)=\frac{1}{x+3}$ であるとき，以下の関数を求めよ． (1) $f^{-1}(x)$ (2)…
三角関数と方程式
🔄 最終更新日 2022年10月24日 by takara_semi 問題 以下の方程式を解け．ただし $0≦\theta＜2\pi$ とする． (1) $\cos{2\theta}+\sin{\theta}=1$ …
動径が第4象限にある時の三角関数の値
🔄 最終更新日 2022年10月21日 by takara_semi 問題 $\theta$ の動径が第$4$象限にあり $\cos{\theta}=\frac{5}{13}$ である．このとき $\sin{\the…
円の内部に他の円が収まる条件
🔄 最終更新日 2022年10月21日 by takara_semi 問題 円 $(x+1)^2+(y-3)^2=r^2$ が円 $(x-2)^2+(y+1)^2=49$ の内部にあるような半径 $r$ の値の範囲を…
平方根が整数となる条件
🔄 最終更新日 2024年2月18日 by takara_semi 問題 $\sqrt{2000-5n}$ が整数となる自然数 $n$ は何個あるか求めよ． 平方根が整数となる条件は $\sqrt{A^2}$ の形で…
2つの曲線で囲まれた部分の面積の求積
🔄 最終更新日 2024年1月22日 by takara_semi 問題 次の曲線で囲まれた部分の面積を求めよ． $y=x^2-2 x-7$, $y=-x^2+2 x+9$ 囲まれた部分の面積は，領域の上の部分の関数…
三角形と内分とベクトル
🔄 最終更新日 2023年8月8日 by takara_semi 問題 三角形 $\mathrm{OAB}$ において, 辺 $\mathrm{OA}$ を $1:2$ に内分する点を $\mathrm{M}$, 辺…
複雑な三角方程式の解法
🔄 最終更新日 2024年1月22日 by takara_semi 問題 三角関数に関する以下の問を解け． (1) $\sin^2{x}+\cos^2{x} =1$ を利用し，$\sin{x} \cos{x}$ を …
正六角形とベクトル
🔄 最終更新日 2024年1月22日 by takara_semi 問題 正六角形 $\mathrm{ABCDEF}$ において，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\vec{a}$, $\o…
総和の公式の活用と展開計算
🔄 最終更新日 2023年3月25日 by takara_semi 問題 一般項 $a_n$ が $a_n = 2n-1$ で表される数列について, $a_1$ から $a_{10}$ までの異なる2項の積 $a_i…
三角形と1次独立なベクトル
🔄 最終更新日 2022年12月25日 by takara_semi 問題 三角形 $\rm{OAB}$ において，辺 $\rm{OA}$ を $1:2$ に内分する点を $\rm{M}$，辺 $\rm{OB}$ を…
三角形とベクトル
問題 三角形 $\rm{OAB}$ の辺 $\rm{AB}$ を $3:4$ に内分する点を $\rm{C}$ とする．さらに，三角形 $\rm{OAB}$ の辺 $\rm{OA}$ を $2:1$ に内分する点 $…
総和の計算と等比数列
問題 $$S=\sum_{k=1}^{n} k \cdot 5^{k-1}$$ を計算せよ． 総和の問題において $S=\sum_{k=1}^{n} k \cdot a^{k-1}$ の形の計算では $S-aS$ を…
総和と数列
🔄 最終更新日 2022年7月26日 by takara_semi 問題 数列 $\{ a_n \}$ において $$ \sum_{k=1}^{n}5^{-k}k(k+1)a_k = 2 \left( n+\frac…
三角形の性質の応用
🔄 最終更新日 2022年3月31日 by takara_semi 問題 $\rm{△ABC}$ の $\rm{∠A}$ およびその外角の二等分線と直線 $\rm{BC}$ との交点をそれぞれ $\rm{D,E}$ …
ベクトル方程式が表す内分と線分
🔄 最終更新日 2022年1月23日 by takara_semi 問題 三角形 $\rm{ABC}$ の頂点が $\rm{A(\overrightarrow{a})}$, $\rm{B(\overrightarro…
極限の計算と平方根
🔄 最終更新日 2022年12月25日 by takara_semi 問題 以下の極限を計算せよ． $$\lim_{n \to \infty} (\sqrt{4n^2+6n}-2n)$$ 本問題は，極限の計算でよくみ…
極限値の計算と分子の有理化
🔄 最終更新日 2022年12月25日 by takara_semi 問題 以下の極限を計算せよ． $$\lim_{n \to -3}\frac{\sqrt{x+4}-1}{x+3}$$ 極限を求められる形に式を変形…
格子点と数列と極限
🔄 最終更新日 2022年7月26日 by takara_semi 問題 座標平面上の点 $(p,q)$ で，$p$ と $q$ がともに整数となる点を格子点という．以下の(1)～(3)を解け． (1) 自然数 $n…
因数定理の応用
問題 $f(x)$ が $(x-1)^2$ で割り切れるとき，$f(1)=f'(1)=0$ となることを説明せよ． 因数定理は，剰余定理の余りが$0$となる場合に成り立つ定理です．どちらも上手く活用できるように理解し…
定積分による求積（放物線とｘ軸）
問題 放物線 $y=x^2-ax (a＞0)$ と $x$ 軸とで囲まれた領域の面積を $S$ とする．$S=\frac{9}{2}$ であるとき，定数 $a$ の値を求めよ． 定積分を用いた領域の面積の求積の基本を…
3乗根を含む数式の極限値
🔄 最終更新日 2021年7月15日 by takara_semi 問題 $\lim_{n \to \infty} (\sqrt[3]{n^3-n^2}-n )$ の値を求めよ． 3乗根を外す公式を上手く利用しよう …