🔄 最終更新日 2023年8月8日 by takara_semi
タロウ君は「$xy$ 平面上の原点と点 $(1,2)$ を結ぶ線分（両端を含む）を $L$ とする．曲線 $y=x^2+a x+b$ が $L$ と共有点をもつような実数の組 $(a, b)$ の集合を $ab$ 平面上に図示せよ．」という問いに取り組んでいる．以下のタロウ君の疑問点について説明せよ．
【疑問1】
$L$ の方程式は $y=2 x(0 \leqq x \leqq 1)$ で表されるため, $L$ と曲線 $y=x^2+a x+b$ が 共有点をもつ条件は$x^2+a x+b=2 x$ より $x^2+(a-2) x+b=0$ が $0 \leqq x \leqq 1$ の範囲に少なくとも1つの実数解を持てばよい．$f(x)=x^2+(a-2) x+b$ とおくと，$f(x)$は次の2通りに場合分けして考えることができる．
(i)$f(x)$が$0 \leqq x \leqq 1$ の範囲で$x$軸と1点だけ交わる場合
$$
\begin{aligned}
& f(0) \cdot f(1) \leqq 0 \text { より } \\
& b(a+b-1) \leqq 0
\end{aligned}
$$
(ii)$f(x)$が$0 \leqq x \leqq 1$ の範囲で$x$軸と2点交わる場合
$$D=(a-2)^2-4 b \geqq 0$$
$$\therefore b \leqq \frac{1}{4}(a-2)^2$$
$y=f(x)$ のグラフの軸は
$$0 ＜ -\frac{a-2}{2} ＜ 1$$
$$\therefore \quad 0＜a＜2$$
また
$$f(0)=b \geqq 0$$
$$f(1)=1+a-2+b \geqq 0$$
$$\therefore \quad b \geqq 0, b \geqq-a+1 \cdots \text{⓪}$$
よって
$$b(a+b-1) \leqq 0\cdots \text{①}$$
または
$$
\left\{\begin{array}{l}
b \leqq \frac{1}{4}(a-2)^2 \\
0＜a＜2 \quad \quad \quad \cdots \text{②} \\
b \geqq 0, b \geqq-a+1
\end{array}\right. \\
$$
①がどうやって導き出されたのか，タロウ君はわかりません．「⓪よって①」というのが納得できないようです．①が成り立つ理由を説明せよ．
【疑問２】
タロウ君は①②が示す領域を図示することが難しいようです．分かりやすく説明せよ．
導き出した不等式がどの領域を表しているのか，境界を含むのかどうなのか，丁寧に考えて解きましょう．
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