🔄 最終更新日 2022年10月21日 by takara_semi
問題
図のように直線 $L : y=mx$ と曲線 $C : y=|x^2-x|$ があり，異なる共有点の個数は3個である．また $L,C,x$軸に囲まれた図の面積を $S_1, S_2, S_3, S_4$ とし，$L,C$ に囲まれた部分の面積を $S=-\frac{1}{6}(m^3-9m^2+3m-1)$ とする．このとき，以下の問いに答えよ．
図のように直線 $L : y=mx$ と曲線 $C : y=|x^2-x|$ があり，異なる共有点の個数は3個である．また $L,C,x$軸に囲まれた図の面積を $S_1, S_2, S_3, S_4$ とし，$L,C$ に囲まれた部分の面積を $S=-\frac{1}{6}(m^3-9m^2+3m-1)$ とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1) $S_2=S_1+S_3-2S_4$, $S=S_1+S_2=2S_1+S_3-2S_4$ となる理由を述べよ．
(2) $\frac{dS}{dm}=-\frac{1}{2}(m^2-6m+1)$ となる理由を述べよ．
(3) $\frac{1}{6}$公式と呼ばれる関係 $\int^{\beta}_{\alpha} (x-\alpha)(x-\beta)dx=-\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3$ が知られている．この公式を適用することで，面積 $S$ の計算量を大幅に軽減することができるのであるが，そのためには，どのような工夫が必要であるかを述べよ．
$\frac{1}{6}$公式：$\int^{\beta}_{\alpha} (x-\alpha)(x-\beta)dx$$=-\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3$ はその適用条件と合わせて確認しておこう．
検索キーワード：
直線 $L : y=mx$, 曲線 $C : y=|x^2-x|$, 異なる共有点, 囲まれた面積, $S_1, S_2, S_3, S_4$, $S=-\frac{1}{6}(m^3-9m^2+3m-1)$, $S_2=S_1+S_3-2S_4$, $S=S_1+S_2=2S_1+S_3-2S_4$, $\frac{dS}{dm}=-\frac{1}{2}(m^2-6m+1)$, $\frac{1}{6}$公式, $\int^{\beta}_{\alpha} (x-\alpha)(x-\beta)dx=-\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3$.
