３章：1次関数

🔄 最終更新日 2019年12月11日 by takara_semi

中2 ＞ 3章：1次関数

中学1年では関数の関係にある2つの数量をみつけて「比例」「反比例」の関係として問題を解決する方法を学びました。本章では、ある2つの数量の「変化の規則性」に注目することで、その関係の特徴を利用した問題解決の方法について学び、1年次より発展的な知識を習得していきましょう。

1次関数とグラフ

本節では、$y=ax+b$ という式で表される $x$ と $y$ との関係について考えます。2つの変数 $x$, $y$ について、$y$ が $x$ の1次式で表されるとき $y$ は $x$ の1次関数であるといいます。つまり、1次関数は一般に $y=ax+b$ と表されます。1年で学んだ比例の式は $y=ax$ でしたが、これは1次関数の式 $y=ax+b$ の定数 $b$ が $0$ のときの場合です。「比例」は「1次関数の特別な場合」を表していたということです。また $x$ の増加量に対する $y$ の増加量の割合を変化の割合といい、1次関数 $y=ax+b$ では変化の割合は一定で $a$ に等しくなります（※ 変化の割合 $=\frac{yの増加量}{xの増加量}=a$：比例定数 $a$ と変化の割合 $a$ の意味の違いに気を付けること。反比例の関係では変化の割合は一定ではありません。）。つまり、この一定の値 $a$ は、 $x$ の値が $1$ だけ増加した時の $y$ の増加量を表しています。

次に1次関数のグラフの特徴について考えてみましょう。比例のグラフとの関係から考えると、1次関数 $y=ax+b$ のグラフは比例の式 $y=ax$ のグラフを $y$ 軸の正の方向に $b$ だけ平行移動させた直線であると考えることができます。言い換えると、 $y=ax+b$ のグラフは点 $(0,b)$ を通り $y=ax$ のグラフに平行な直線であるともいえます。1次関数 $y=ax+b$ の定数部分 $b$ は $x=0$ のときの $y$ の値でグラフが $y$ 軸と交わる点 $(x,y)=(0,b)$ の $y$ 座標になっています（$y=ax+b$ に $x=0$ を代入した時に $y=b$ となることを確認すること）。この $b$ を1次関数のグラフの切片といいます。また変化の割合である $a$ をそのグラフの傾きといいます。つまり1次関数 $y=ax+b$ のグラフは傾きが $a$ 切片が $b$ の直線であるといえます（直線を表す式 $=$ 1次関数であると考えることができます）。傾き $a$ が正の値の場合は $x$ の値が増加すれば $y$ の値も増加する「右肩上がりの直線」 $a$ が負の値の場合は $x$ の値が増加すれば $y$ の値は減少する「右肩下がりの直線」となります。1次関数とそのグラフの関係についてまとめると、変化の割合と傾きが対応し、$x,y$ の値が通る点 $(x,y)$ と対応します。この関係を利用することで、1次関数からグラフを、グラフから1次関数を、それぞれ求めることができます。練習問題に沢山触れることで1次関数の表現になれ、式からグラフをすぐにイメージできるようになりましょう。

1次関数の式の求め方

本節では1次関数の式を求める方法を学びましょう。前節でも説明しましたが、1次関数とそのグラフの関係についてまとめると、変化の割合 $=$ 傾き、$x,y$ の値 $=$ 通る点 $(x,y)$ であるという関係を利用することで、1次関数からグラフを、グラフから1次関数を、それぞれ求めることができます。様々な条件から正しく1次関数の式を求められるよう演習に取り組みましょう。

1次関数と方程式

本節では、2つの文字 $x,y$ をふくむ2元1次方程式 $ax+by=c$ （$a,b,c$ は定数とします）の表すグラフについて考えてみましょう。この方程式を成り立たせる $x,y$ の組は無数に存在し、この $x,y$ の値の座標をグラフとして描くと、直線になります。2元1次方程式 $ax+by=c$ を見やすい形に表すために $y$ について解くと $y=-\frac{a}{b}x+\frac{c}{b}$ となり、傾き $-\frac{a}{b}$ 切片 $\frac{c}{b}$ の直線であることが分かります。この直線を方程式 $ax+by=c$ のグラフといいます。このグラフは方程式 $ax+by=c$ の解を座標にもつ点の集まりでできた直線です。とくに $a=0$ の場合は $x$ 軸に平行な直線（ $y=\frac{c}{b}$ ）、$b=0$ の場合は $y$ 軸に平行な直線（ $x=\frac{c}{a}$ ）になります。ここでは説明を一般化するために $a,b,c$ を用いて説明しましたが、そこに具体的な数字を入れて、いろいろな方程式のグラフを描いてみましょう。きっと理解が深まるはずです。

続いて、2つの2元1次方程式（連立方程式）とグラフの関係について考えてみましょう。先ほど1つの2元1次方程式が直線のグラフとなることを学びました。さらに、その直線は、その方程式の解の集まりだということも学びました。これらのことから、2つの2元1次方程式をグラフにしたとき、2本の直線ができ、さらにその2直線の交点 $(p,q)$ は、2つの方程式をそれぞれ成り立たせる解、つまり連立方程式の解となることが分かります。整理すると $x,y$ についての連立方程式の解は、それぞれの方程式のグラフの交点の $x$ 座標 $y$ 座標の組となります。このようにして、グラフを活用して連立方程式を解くことができます。関数のグラフと方程式の関係を正しく理解し、問題に合った解き方ができるようになりましょう。

1次関数の利用

本節では1次関数を利用して問題を解決することを考えます。例えばやかんや水筒の温度の変化を調べたり、標高と気温の関係を考察したり、電車のダイヤグラムを読み取ったり、水道光熱費や携帯料金と使用量と料金の関係を調べたり、図形の面積の変化を考えたりと、ある2つの数量の間の関係を1次関数とみなして解決できる問題は無数にあります。実際に具体的な問題に取り組み、1次関数とそのグラフを活用して、問題を解決してみましょう（図形の面積を1次関数で表現する問題として「点Pが辺上を移動する」という問題はよく出題されます。いくつかのパターンを解いて理解を深めておきましょう）。

＞＞目次に戻る