２章：連立方程式

連立方程式の解き方：次の手順で解く。
(1) まず文字を消去して1つの文字だけの方程式を導く。$\to$ 加減法・代入法
(2) 得られた方程式を解いて1つの文字の値を求める。
(3) もう一方の文字の値を求める。
例1）次の連立方程式を解く（加減法）。
\begin{cases}
{}
2x + 4y = 10 \ ―①& \\
x + 3y = 6 \ ―②&
\end{cases}
$② \times 2$より
\begin{cases}
{}
2x + 4y = 10 \ ―①& \\
2x + 6y = 12 \ ―②’&
\end{cases}
$①-②’$ を計算する
\begin{eqnarray}
2x+4y &=& 10 \\
-) \ 2x+6y &=& 12 \\
\hline\\
-2y &=& -2\\
y &=& 1\\
\end{eqnarray}
この結果を $②$ に代入すると $x=3$ が得られる。よって解は $x=3, y=1$

例2）次の連立方程式を解く（代入法）。
\begin{cases}
{}
2x + 4y = 10 \ ―①& \\
x + 3y = 6 \ ―②&
\end{cases}
$②$より
\begin{equation}
x=6-3y \ ―②’
\end{equation}
$②’$を$①$に代入すると
\begin{eqnarray}
2(6-3y)+4y &=& 10 \\
-2y &=& -2 \\
y &=& 1
\end{eqnarray}
この結果を $②$ に代入すると $x=3$ が得られる。よって解は $x=3, y=1$

いろいろな連立方程式：
例1）分数や小数をふくむ連立方程式：
\begin{cases}
{}
0.1x + y = 0.2 \ ―①& \\
\frac{x+5y}{3} = \frac{1}{2} \ ―②&
\end{cases}
係数が全て整数になるよう変形する。$① \times 10$, $② \times 6$より
\begin{cases}
{}
x + 10y = 2 \ ―①’& \\
2x + 10y = 3 \ ―②’&
\end{cases}
$①’-②’$ を計算する
\begin{eqnarray}
x+10y &=& 2 \\
-) \ 2x+10y &=& 3 \\
\hline\\
-x &=& -1\\
x &=& 1\\
\end{eqnarray}
この結果を $①’$ に代入すると $y=\frac{1}{10}$ が得られる。よって解は $x=1, y=\frac{1}{10}$

例2）等式の形で表現された連立方程式：
連立方程式 $2x+y=x+3y=2$ を解く。$2x+y$ も $x+3y$ も $2$ と等しいことから、次のような連立方程式をつくることができる
\begin{cases}
{}
2x + y = 2 \ ―①& \\
x + 3y = 2 \ ―②&
\end{cases}
$②$より
\begin{equation}
x=2-3y \ ―②’
\end{equation}
$②’$を$①$に代入すると
\begin{eqnarray}
2(2-3y)+y &=& 2 \\
-5y &=& -2 \\
y &=& \frac{2}{5}
\end{eqnarray}
この結果を $②$ に代入すると $x=2-3 \times \frac{2}{5}$$=2-\frac{6}{5}$$=\frac{4}{5}$ が得られる。よって解は $x=\frac{4}{5}, y=\frac{2}{5}$

例3）3つの文字をふくむ連立方程式：
文字が増えても、同じように文字を消去して解く。
\begin{cases}
{}
x + y +z = 2 \ ―①& \\
x + 3y +2z = 3 \ ―②& \\
2x – y + z = 0\ ―③&
\end{cases}
$③$より
\begin{equation}
z=y-2x \ ―③’
\end{equation}
$③’$を$①②$に代入すると
\begin{cases}
{}
x + y +(y-2x) = 2 & \\
x + 3y +2(y-2x) = 3 & \\
\end{cases}
計算すると
\begin{cases}
{}
-x + 2y = 2 \ ―①^{\prime}& \\
-3x + 5y = 3 \ ―②^{\prime}& \\
\end{cases}
$①^{\prime}$より
\begin{equation}
x=2y-2 \ ―①^{\prime \prime}
\end{equation}
$①^{\prime \prime}$を$②^{\prime}$に代入すると
\begin{eqnarray}
-3(2y-2) + 5y &=& 3 \\
6-y &=& 3 \\
y &=& 3
\end{eqnarray}
この結果を $①^{\prime \prime}$ に代入すると $x=2 \times 3-2$$=6-2$$=4$ が得られる。さらにこれらの結果を $③’$ に代入すると $z=3-2 \times 4$$=3-8$$=-5$
よって解は $x=4, y=3, z=-5$

連立方程式の利用：
(1) 連立方程式をつくる。$\to$ 連立方程式を解く。
(2) 問題の解を求める。$\to$ 連立方程式の解が問題に適しているか調べる。

問題の種類による計算方法：
(1) 代金の問題：代金 $=$ 単価 $\times$ 個数 （※買い物や入園料などの身近な合計代金に関する問題で利用）
(2) 利益の問題：売価 $―$ 原価 $=$ 利益
(3) 速さの問題：道のり $=$ 速さ $\times$ 時間（※距離・速度・時間に関する図を描いて式をつくると間違えにくい。また単位をそろえること）
(4) 濃度の問題：食塩水の濃度(%) $=$ $\frac{食塩の重さ}{食塩水の重さ} \times 100$
(5) 割合の問題：（※生徒数や値段の定価を求める問題などで利用）
$\to$ $b$ は $a$ の $c$ %増 $b=a \times \left( 1+\frac{c}{100} \right)$
$\to$ $d$ は $a$ の $c$ %減 $d=a \times \left( 1-\frac{c}{100} \right)$
(6) 整数の問題：
$\to$ 2桁の自然数 $10a+b$ $(a \neq 0)$
$\to$ 3桁の自然数 $100a+10b+c$ $(a \neq 0)$ ( $a,b,c$ は $0$ から $9$ までの整数)