７章：三平方の定理

下の図のように、直角三角形 $\triangle {\rm ACB}$ と合同な直角三角形を、1辺の長さが $c$ の正方形の周りに描きます。そうすると、外側に1辺が
の長さが $a+b$ の正方形ができます。この図で面積の関係を考えます。（1辺 $c$ の正方形の面積）$=$（1辺 $a+b$ の正方形の面積）$-$（$\triangle {\rm ABC}$ の面積）$\times 4$ であるから
\begin{eqnarray}
c^2 &=& (a+b)^2-\frac{1}{2}ab \times 4 \\
&=& (a^2+2ab+b^2)-2ab \\
&=& a^2+b^2
\end{eqnarray}
よって三平方の定理が証明されました。

下の図のように ${\rm BC} = a$,${\rm CA} = b$,${\rm AB} = c$ で $a^2+b^2=c^2$ が成り立つ $\triangle {\rm ABC}$ を考えます。この三角形の斜辺に対する角 $\angle {\rm C} = y$ とします。次に ${\rm EF} = a$,${\rm FD} = b$,${\rm DE} = x$, $\angle {\rm F} = 90^{\circ}$ である $\triangle {\rm DEF}$ を考え $\triangle {\rm ABC}$ と比較します。
$\triangle {\rm DEF}$ において三平方の定理より
$a^2+b^2=x^2$・・・①
仮定から
$a^2+b^2=c^2$・・・②
①②より
$x^2=c^2$
$x ＞ 0$,$c ＞ 0$であるから
$x=c$
つまり
${\rm DE} = {\rm AB}$・・・③
仮定より
${\rm EF} = {\rm BC}$・・・④
${\rm FD} = {\rm CA}$・・・⑤
③④⑤より
$\triangle {\rm ABC}$ と $\triangle {\rm DEF}$ において3組の辺がそれぞれ等しいため
$\triangle {\rm ABC} ≡ \triangle {\rm DEF}$
したがって対応する角の大きさは等しいので
$\angle {\rm C} = \angle {\rm F}$
$y=90^{\circ}$
よって三平方の定理の逆が成り立つことが証明できました。

三平方の定理：直角三角形の直角をはさむ2辺の長さを $a$, $b$ 斜辺の長さを $c$ とすると $a^2+b^2=c^2$ が成り立つ。
　

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三平方の定理の証明方法を考えてみましょう。

ヒポクラテスの月形の面積(エ)は、下の図のように(ア)$+$(イ)$-$(ウ)という計算で求めることができます。
\begin{eqnarray}
(ア)&=&\pi a^2 \times \frac{1}{2}+\pi b^2 \times \frac{1}{2}\\
&=&\frac{1}{2}\pi(a^2+b^2)　・・・①\\
\\
(イ)&=&\frac{1}{2}ab　・・・②
\\
(ウ)&=&\pi (\sqrt{a^2+b^2})^2 \times \frac{1}{2}\\
&=&\frac{1}{2}\pi(a^2+b^2)　・・・③
\end{eqnarray}
①②③より
\begin{eqnarray}
(エ)&=&(ア)+(イ)-(ウ)\\
&=&\frac{1}{2}\pi(a^2+b^2)+\frac{1}{2}ab\\
& &-\frac{1}{2}\pi(a^2+b^2)\\
&=&\frac{1}{2}ab
\end{eqnarray}
となり、ヒポクラテスの月形の面積は、直角三角形 $\triangle {\rm ABC}$ の面積と等しくなることが分かります。

特別な直角三角形の3辺の長さの比：
(1) 直角二等辺三角形 $\to$ $1:1:\sqrt{2}$
(2) $30^{\circ},60^{\circ}$ の直角三角形 $\to$ $1:2:\sqrt{3}$