7章:三平方の定理

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🔄 最終更新日 2019年12月11日 by takara_semi

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本章では、三平方の定理について学びます。三平方の定理はピタゴラスの定理ともいい、非常に便利で実用的な定理です。その証明方法や活用方法について学び、いろいろな問題に対して、この定理を利用できるようになりましょう。

三平方の定理

三平方の定理とは「直角三角形の直角をはさむ2辺の長さを $a,b$ 斜辺の長さを $c$ としたときに $a^2+b^2=c^2$ という関係が成り立つ」というものです。この定理は、古代エジプト時代から知られており、ギリシャの数学者であるピタゴラスにちなんでピタゴラスの定理ともよばれます。

ここで、三平方の定理を証明してみましょう。

下の図のように、直角三角形 $\triangle {\rm ACB}$ と合同な直角三角形を、1辺の長さが $c$ の正方形の周りに描きます。そうすると、外側に1辺が
の長さが $a+b$ の正方形ができます。この図で面積の関係を考えます。(1辺 $c$ の正方形の面積)$=$(1辺 $a+b$ の正方形の面積)$-$($\triangle {\rm ABC}$ の面積)$\times 4$ であるから
\begin{eqnarray}
c^2 &=& (a+b)^2-\frac{1}{2}ab \times 4 \\
&=& (a^2+2ab+b^2)-2ab \\
&=& a^2+b^2
\end{eqnarray}
よって三平方の定理が証明されました。

続いて、三平方の定理の逆についてみてみましょう。三平方の定理の逆は「三角形の3辺の長さ $a,b,c$ の間に $a^2+b^2=c^2$ という関係が成り立てば、その三角形は長さ $c$ の辺を斜辺とする直角三角形である」といえます。これが成り立つことを証明しましょう。

下の図のように ${\rm BC} = a$,${\rm CA} = b$,${\rm AB} = c$ で $a^2+b^2=c^2$ が成り立つ $\triangle {\rm ABC}$ を考えます。この三角形の斜辺に対する角 $\angle {\rm C} = y$ とします。次に ${\rm EF} = a$,${\rm FD} = b$,${\rm DE} = x$, $\angle {\rm F} = 90^{\circ}$ である $\triangle {\rm DEF}$ を考え $\triangle {\rm ABC}$ と比較します。
$\triangle {\rm DEF}$ において三平方の定理より
$a^2+b^2=x^2$・・・①
仮定から
$a^2+b^2=c^2$・・・②
①②より
$x^2=c^2$
$x > 0$,$c > 0$であるから
$x=c$
つまり
${\rm DE} = {\rm AB}$・・・③
仮定より
${\rm EF} = {\rm BC}$・・・④
${\rm FD} = {\rm CA}$・・・⑤
③④⑤より
$\triangle {\rm ABC}$ と $\triangle {\rm DEF}$ において3組の辺がそれぞれ等しいため
$\triangle {\rm ABC} ≡ \triangle {\rm DEF}$
したがって対応する角の大きさは等しいので
$\angle {\rm C} = \angle {\rm F}$
$y=90^{\circ}$
よって三平方の定理の逆が成り立つことが証明できました。

ピタゴラス数:$a^2+b^2=c^2$ の関係を成り立たせる自然数の値の組をピタゴラス数といいます。$m,n$ を $m>n$ である自然数とすると $a=m^2-n^2$,$b=2mn$,$c=m^2+n^2$ をみたす $a,b,c$ の値の組 ($m^2-n^2,2mn,m^2+n^2$)はいつもピタゴラス数になります($a^2+b^2=c^2$ に代入すれば簡単に確認できます)。これを用いることで、例えば $m=2,n=1$ のとき $(3,4,5)$、$m=3,n=2$ のとき $(5,12,13)$ などとして、ピタゴラス数をみつけることができます。
要点

三平方の定理:直角三角形の直角をはさむ2辺の長さを $a$, $b$ 斜辺の長さを $c$ とすると $a^2+b^2=c^2$ が成り立つ。
 

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三平方の定理の証明方法を考えてみましょう。

三平方の定理の逆
3辺の長さが $a,b,c$ である三角形において $a^2+b^2=c^2$ が成り立つならばその三角形は長さ $c$ の辺を斜辺とする直角三角形である。

三平方の定理の利用

本節では、三平方の定理を利用して、いろいろな長さを求める方法について考えてみましょう。例えば特徴的な直角三角形として、3つの角が$45^{\circ}$, $45^{\circ}$, $90^{\circ}$ である直角三角形と $30^{\circ}$, $60^{\circ}$, $90^{\circ}$ である直角三角形の3辺の長さは、下図のような関係が成り立っています。この関係は非常に重要で、問題にもよく利用されますので、正しく理解しておきましょう。

また、 直方体の対角線の長さを三平方の定理から求めることもできます。下の図のように、縦 $a$ 横 $b$ 高さ $c$ の直方体では、対角線の長さは $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ となることが分かります。これは(直方体の対角線)$^2$$=$(平面の対角線)$^2$$+$(高さ)$^2$ となるため (直方体の対角線)$=\sqrt{(\sqrt{a^2+b^2})^2+c^2}$$=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ となることから確かめられます。

続いて、三平方の定理を利用して、平方根の長さをもつ線分を描く方法についてみていきましょう。下の図のように、線分 ${\rm AB}=1$ の直角二等辺三角形をはじまりとして、$\sqrt{2}$,$\sqrt{3}$,$\sqrt{4}$…の長さの線分 ${\rm AC}$,${\rm AD}$,${\rm AE}$…を順に描くことができます。これは三平方の定理を繰り返し利用して計算することで、その確かさを確認することができます。

最後に、三平方の定理を利用して、下図のヒポクラテスの月型と呼ばれる図形の面積を求める方法について考えてみましょう。ヒポクラテスの月形とは、直角三角形 $\triangle {\rm ABC}$ に3辺を直径とする半円を下の図のように描いたものの、色の付いた部分のことをいいます。この色の付いた部分の面積を求めると面白いことが分かります。

ヒポクラテスの月形の面積(エ)は、下の図のように(ア)$+$(イ)$-$(ウ)という計算で求めることができます。
\begin{eqnarray}
(ア)&=&\pi a^2 \times \frac{1}{2}+\pi b^2 \times \frac{1}{2}\\
&=&\frac{1}{2}\pi(a^2+b^2) ・・・①\\
\\
(イ)&=&\frac{1}{2}ab ・・・②
\\
(ウ)&=&\pi (\sqrt{a^2+b^2})^2 \times \frac{1}{2}\\
&=&\frac{1}{2}\pi(a^2+b^2) ・・・③
\end{eqnarray}
①②③より
\begin{eqnarray}
(エ)&=&(ア)+(イ)-(ウ)\\
&=&\frac{1}{2}\pi(a^2+b^2)+\frac{1}{2}ab\\
& &-\frac{1}{2}\pi(a^2+b^2)\\
&=&\frac{1}{2}ab
\end{eqnarray}
となり、ヒポクラテスの月形の面積は、直角三角形 $\triangle {\rm ABC}$ の面積と等しくなることが分かります。

このように、三平方の定理を学ぶことで、一見複雑な図形の面積も求めることができるようになります。応用範囲の広い「三平方の定理」を是非、正しく理解しておきましょう。

要点

特別な直角三角形の3辺の長さの比
(1) 直角二等辺三角形 $\to$ $1:1:\sqrt{2}$
(2) $30^{\circ},60^{\circ}$ の直角三角形 $\to$ $1:2:\sqrt{3}$
 

座標平面上の2点間の距離
2点 ${\rm A},{\rm B}$ 間の距離は ${\rm AB}$$=\sqrt{(x\small{座標の差})^2+(y\small{座標の差})^2}$
直方体の対角線の長さ
縦 $a$ 横 $b$ 高さ $c$ の直方体の対角線の長さを $\ell$ とすると $\ell=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

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著者紹介 旧帝大学生。自然科学/社会学/教育学/健康増進医学/工学/数学など、および学際的な研究領域に興味があります。

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