6章:円

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🔄 最終更新日 2019年12月11日 by takara_semi

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本章では、円の性質について詳しく調べます。円は1点からの距離が一定である点の集まりであり、たとえば円周上に頂点を持つ角には特別な性質がみられます。このような、円についての様々な性質を調査し、その活用方法や見方を広げていきましょう。

円周角の定理

本節では、円周角の定理について学習します。円 ${\rm O}$ において弧 $\stackrel{\frown}{\rm AB}$ をのぞく円周上の点を $P$ とするとき $\angle {\rm APB}$ を「弧 $\stackrel{\frown}{\rm AB}$ に対する円周角」といいます。また、弧 $\stackrel{\frown}{\rm AB}$ を「円周角 $\angle {\rm APB}$ に対する弧」といいます。

続いて円周角の定理についてみていきましょう。円周角の定理とは「1つの弧に対する円周角の大きさは一定であり、その弧に対する中心角の半分である」というものです。この定理の証明をしましょう。

下の図において直径 ${\rm PC}$ をひき $\angle {\rm OPA}=\angle a$, $\angle {\rm OPB}=\angle b$ とします。
${\rm OP=OA}$ であるから
$\angle {\rm OAP}=\angle a$
$\angle {\rm AOC}$ は ${\rm \triangle{OPA}}$ の外角なので
$\angle {\rm AOC}$$=\angle {\rm OAP}+\angle {\rm OPA}$$=2\angle a$
同様にして
$\angle {\rm BOC}$$=2\angle b$
したがって
$\angle {\rm AOB}$$=2(\angle a + \angle b)$
また
$\angle {\rm APB}$$=\angle a + \angle b$
であるから
$\angle {\rm APB}$$=\frac{1}{2}\angle {\rm AOB}$
弧 $\stackrel{\frown}{\rm AB}$ に対する中心角 $\angle {\rm AOB}$ は1つに定まるため、$\angle {\rm APB}$ の大きさは $\frac{1}{2}\angle {\rm AOB}$ で一定となる。(証明終了)

続いて、円周角と弧の性質について、より詳細にみていきましょう。例えば、1つの円で「等しい中心角に対する弧は等しく」なります。逆に「等しい弧に対する中心角も等しく」なります。これらの性質と中心角の定理から、1つの円において「等しい円周角に対する弧は等しく」なり「等しい弧に対する円周角も等しく」なります。また1つの円で「等しい弧に対する弦も等しく」なります。しかしながら、1つの弦に対する弧は2つ存在するため「等しい弦に対する弧は等しい」とはいえないので注意が必要です。

また、直径と円周角の間にも特別な性質があります。半円の弧に対する中心角が $180^{\circ}$ となることから、その円周角は $90^{\circ}$ となります。つまり、線分 ${\rm AB}$ を直径とする円の円周上に、点 ${\rm A,B}$ と異なる点 ${\rm P}$ をとれば $\angle {\rm APB}=90^{\circ}$(直角)となります。この性質の逆も成り立ち、円周上の3点 ${\rm A,P,B}$ について $\angle {\rm APB}=90^{\circ}$(直角)であるならば、線分 ${\rm AB}$ は円の直径になります。

最後に、円周角の定理の逆について考えてみましょう。円周角の定理の逆は、下の図において「4点 ${\rm A,B,P,Q}$ について点 ${\rm P,Q}$ が直線 ${\rm AB}$ の同じ側にあり $\angle {\rm APB}=\angle {\rm AQB}$ ならば、この4点は1つの円周上にある」という性質になります。以下に、この性質が成り立つことを簡単に説明します。

円周角の定理の逆は、下の図を用いて説明することができます。

下の図のように、点 ${\rm P}$ が円 ${\rm O}$ の円周上や内部、外部にあるときの $\angle {\rm APB}$ と $\angle a$ の大きさを比べます。
(ア) 円周上にある場合
円周角の定理より
$\angle {\rm APB}=\angle a$・・・①
(イ) 内部にある場合
${\rm AP}$ の延長線と円周との交点を ${\rm Q}$ とすると $\angle {\rm APB}$ は $\triangle {\rm PBQ}$ の外角となるため
$\angle {\rm APB} > \angle a$・・・②
(ウ) 外部にある場合
${\rm AP}$ と円周との交点を ${\rm Q}$ とすると $\angle {\rm AQB}$ は $\triangle {\rm QBP}$ の外角となるため
$\angle {\rm APB} < \angle a$・・・②
①②③より、点 ${\rm P}$ を直線 ${\rm AB}$ に対して点 ${\rm C}$ と同じ側にとったとき $\angle {\rm APB}=\angle a$ ならば点 ${\rm P}$ は円 ${\rm O}$ の円周上にあるということが確かめられました。

他の性質としては「円外の1点から、その円に引いた2つの接線の長さは等しくなる」などのせいしつもあります。円に関する性質は実に多様です。ここで紹介したもの以外にもいろいろな定理を学ぶ機会もあるかと思います。それらの定理がなぜ成り立つのかを理解した上で、便利な性質は積極的に活用していきましょう。
要点

円周角の定理
(1) $\angle {\rm APB} = \frac{1}{2} \angle {\rm AOB}$
(2) $\angle {\rm APB} =\angle {\rm AQB}$
(3) ${\rm AB}$ が直径 $\iff$ $\angle {\rm APB}=90^{\circ}$
 

円周角の定理の逆
2点 ${\rm P,Q}$ が直線 ${\rm AB}$ について同じ側にあるとき $\angle {\rm APB}=\angle {\rm AQB}$ ならば4点 ${\rm A,B,P,Q}$ は1つの円周上にある。
円の接線
(1) 円の接線は接点を通る半径に垂直である。
(2) 円の外の点からこの円にひいた2本の接線の長さは等しい。

円の様々な問題

本節では、円に関する様々な問題について考えていきましょう。色々な性質について要点内にまとめてあるので、確認しておきましょう。ここでは応用問題として、円を利用した $\sqrt{a}$ の長さの線分の描き方についてみていきましょう。

$\sqrt{a}$ の長さの線分は以下の手順で描くことができます。下の図を用いて説明します。
(1) $a$ を2つの数の積で表します。
$a=bc$
(2) $b+c$ を直径とする円を描きます。
(3) 円の直径を $b:c$ に分ける点を ${\rm P}$ とします。
(4) 点 ${\rm P}$ を通る、この直径の垂線をひき、円との交点を ${\rm P,Q}$ とします。これで作図は完了です。線分 ${\rm PQ}$ の長さが $\sqrt{a}$ となるのですが、以下にその証明を示します。

$\triangle {\rm QPA}$ と $\triangle {\rm BPR}$ において
円周角の定理より
$\angle {\rm AQP} = \angle {\rm RBP}$・・・①
対頂角は等しいから
$\angle {\rm QPA} = \angle {\rm BPR}$・・・②
①②より2組の角がそれぞれ等しいから
$\triangle {\rm QPA} ∽ \triangle {\rm BPR}$
よって対応する辺の比は等しいから
${\rm AP:QP=RP:BP}$
${\rm QP \times RP = AP \times BP}$
${\rm QP^2 }= b \times c$
${\rm QP} = \sqrt{bc}$
${\rm QP} = \sqrt{a}$
よって、線分 ${\rm PQ}$ の長さが $\sqrt{a}$ となります。

要点

円に内接する四角形
(1) 四角形の対角の和は $180^{\circ}$
(2) 四角形の外角はそれと隣り合う内角の対角に等しい。
 

円の接線と弦のつくる角(接弦定理):円の弦とその1つの端からひいた接線がつくる角 $=$ その弧に対する円周角に等しい。
 

方べきの定理:円の2つの弦 ${\rm AB},{\rm CD}$ またはそれらの延長線上の交点を ${\rm P}$ とするとき ${\rm PA}\times {\rm PB}={\rm PC}\times {\rm PD}$
 

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takara_semi
著者紹介 旧帝大学生。自然科学/社会学/教育学/健康増進医学/工学/数学など、および学際的な研究領域に興味があります。

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