カテゴリー: なるほど数1
旅館の部屋数と不等式
問題 ある学校のクラスが修学旅行で旅館に宿泊することになった.1部屋に3人ずつ入ると部屋が足りず,5人が泊まれない.1部屋に4人ずつ入ると空き部屋が2つと,4人に満たない部屋が1室できた.この旅館の部屋数を求めよ. ...
命題の真偽と対偶証明法
問題 以下の命題の真偽を確かめよ. (1) 整数 $n$ について $n^3+1$ が偶数ならば $n$ は奇数である. (2) 整数 $n$ について $n^2-6$ が$3$の倍数でないならば $n$ は$3$の...
ある不等式が全てのxについて成り立つ条件
問題 次の不等式 $ax-2>a^2x-3a$ がすべての $x$ に対して成立するような $a$ の値を求めよ. ある不等式が「全ての$x$について」成り立つ条件は「$x$を含む項の係数が$0$」かつ「$x$を含ま...
2次方程式が正の解を持つ条件
問題 $x$ についての方程式 $x^2-2ax+2a^2-2=0$ が少なくとも1つの正の解を持つための $a$ の値の範囲を求めよ. 2次方程式を,そのグラフの軸と頂点が分かる形に変形して考えよう.そして,軸が正...
条件を満たす集合の個数
問題 集合 $X=\{1,2,3\}$ とする.このとき,以下の条件(i)(ii)を共に満たす $X$ の部分集合 $A,B$ の組がいくつあるかを求めよ. (i) $B \subset A$ (ii) 集合 $B$...
「両辺を二乗」する際の留意点
問題 方程式 $\sqrt{x^2-4}=x+1$ について両辺を二乗して解を求めると「解なし」となる.これは「両辺を二乗したために等式が成り立たなくなった」ために「解なし」となったのかどうかを考察せよ. 等式の両辺...
九九の表と素因数分解
問題 図の九九の表について,以下(1)(2)の問に答えよ. (1) 左上から右下(図中①)の9つの数の積を素因数分解した形で表せ. (2) 右上から左下(図中②)の9つの数の積と(1)の答えの大小を比較せよ. 指数法...