🔄 最終更新日 2022年7月26日 by takara_semi
問題
座標平面上の点 $(p,q)$ で，$p$ と $q$ がともに整数となる点を格子点という．以下の(1)～(3)を解け．
(1) 自然数 $n$ に対し，$p+2q=n$, $p＞0$, $q＞0$ を満たす格子点 $(p,q)$ の個数を $a_n$ とするとき，$a_n$ を求めよ．
(2) 自然数 $n$ に対し，$p+2q＜n$, $p＞0$, $q＞0$ を満たす格子点 $(p,q)$ の個数を $b_n$ とするとき，$b_n$ を求めよ．
(3) 極限値 $$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n^2}, \lim_{n \to \infty} \frac{b_n}{n^2}$$ をそれぞれ求めよ．
座標平面上の点 $(p,q)$ で，$p$ と $q$ がともに整数となる点を格子点という．以下の(1)～(3)を解け．
(1) 自然数 $n$ に対し，$p+2q=n$, $p＞0$, $q＞0$ を満たす格子点 $(p,q)$ の個数を $a_n$ とするとき，$a_n$ を求めよ．
(2) 自然数 $n$ に対し，$p+2q＜n$, $p＞0$, $q＞0$ を満たす格子点 $(p,q)$ の個数を $b_n$ とするとき，$b_n$ を求めよ．
(3) 極限値 $$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n^2}, \lim_{n \to \infty} \frac{b_n}{n^2}$$ をそれぞれ求めよ．
格子点を扱う問題は散見されますので，その扱いに慣れておきましょう．
検索キーワード：
座標平面上, 点 $(p,q)$ ，$p$, $q$, 整数, 格子点, 自然数 $n$, $p+2q=n$, $p＞0$, $q＞0$, $a_n$, $p+2q＜n$, $b_n$, 極限値, $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n^2}$, $\lim_{n \to \infty} \frac{b_n}{n^2}$.
