基本対称式を活用した計算

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 問題 

以下の問を解け.
(1) $x=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}$, $y=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}$ のとき $x^2+xy+y^2$ の値を求めよ.
(2) $x=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}$, $y=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}$ のとき $x^2-3xy+y^2$ の値を求めよ.

なるほど

普通に代入して計算しても同様の結果が得られますが,基本対称式の考えを用いることで,計算量やケアレスミスをぐっと減らすことができます.$x+y$ と $xy$ のことを「基本対称式」といいます.$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$ や $x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)$ のような変換は,ぱっと思い出せるようにしておきましょう.※(2)でx-yを用いて計算を簡略化していますが,基本対称式の考えに基づくならば $(x+y)^2-5xy=\sqrt{10}^2-5\times2=10-10=0$ と計算できます.

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基本対称式, $x=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}$, $y=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}$, $x^2+xy+y^2$, $x=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}$, $y=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}$, $x^2-3xy+y^2$.


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takara_semi
著者紹介 旧帝大卒.自然科学/社会学/教育学/健康増進医学/工学/数学などの分野、および学際的な研究領域に興味があります.

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