絶対値を含む関数がつくる面積の求積(1/6公式)

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🔄 最終更新日 2021年9月8日 by takara_semi

 問題 

図のように直線 $L : y=mx$ と曲線 $C : y=|x^2-x|$ があり,異なる共有点の個数は3個である.また $L,C,x$軸に囲まれた図の面積を $S_1, S_2, S_3, S_4$ とし,$L,C$ に囲まれた部分の面積を $S=-\frac{1}{6}(m^3-9m^2+3m-1)$ とする.このとき,以下の問いに答えよ.

(1) $S_2=S_1+S_3-2S_4$, $S=S_1+S_2=2S_1+S_3-2S_4$ となる理由を述べよ.
(2) $\frac{dS}{dm}=-\frac{1}{2}(m^2-6m+1)$ となる理由を述べよ.
(3) $\frac{1}{6}$公式と呼ばれる関係 $\int^{\beta}_{\alpha} (x-\alpha)(x-\beta)dx=-\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3$ が知られている.この公式を適用することで,面積 $S$ の計算量を大幅に軽減することができるのであるが,そのためには,どのような工夫が必要であるかを述べよ.

なるほど

$\frac{1}{6}$公式:$\int^{\beta}_{\alpha} (x-\alpha)(x-\beta)dx$$=-\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3$ はその適用条件と合わせて確認しておこう.

検索キーワード:
直線 $L : y=mx$, 曲線 $C : y=|x^2-x|$, 異なる共有点, 囲まれた面積, $S_1, S_2, S_3, S_4$, $S=-\frac{1}{6}(m^3-9m^2+3m-1)$, $S_2=S_1+S_3-2S_4$, $S=S_1+S_2=2S_1+S_3-2S_4$, $\frac{dS}{dm}=-\frac{1}{2}(m^2-6m+1)$, $\frac{1}{6}$公式, $\int^{\beta}_{\alpha} (x-\alpha)(x-\beta)dx=-\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3$.


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takara_semi
著者紹介 旧帝大卒.自然科学/社会学/教育学/健康増進医学/工学/数学などの分野、および学際的な研究領域に興味があります.

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