1章:式の計算

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🔄 最終更新日 2019年12月11日 by takara_semi

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中学1年では「1つの文字」にるいての式の計算について学びました。本章では「いくつかの文字」をふくむ式の計算について学びます。扱える文字が増える分、これまでより様々な問題を解決できるようになり、数学の持つ力を垣間見ることができることでしょう。また文字を用いた式を使って「数の性質」を説明する方法についても考えてみましょう。

式の加法・減法

本節では、いくつかの文字をふくむ式の加法と減法の計算について考えます。項の数や文字の個数に着目して考えてみましょう。たとえば $5$ や $3a$ や $xy$ や $\frac{2}{5}b^3$ などのように、文字や数の乗法だけでつくられた式を単項式といいます(1つの文字、1つの数の場合も単項式と考えます)。また $x+4$ や $a-b$ や $3-5x+x^2$ などのように、単項式の和の形をした式を多項式といい、その一つ一つの単項式を、多項式のといいます(多項式 $a-b$ の場合は $a$, $-b$ が項)。そして、単項式でかけられている文字の個数を次数といいます(たとえば $xy$ の次数は $2$ )。次数が1の式を1次式、次数が2の式を2次式、次数が $n$ の式を $n$ 次式といいます。多項式の次数は、次数の最も大きい項の次数になります(多項式 $x^4-3x^2-5$ の次数は $4$ で、この多項式は「4次式」となる)。用語の説明から具体的な計算方法の説明に移ります。多項式の加法や減法では、文字の部分が同じである項(同類項)をまとめることで計算します。たとえば $3x-7y+2x+9y$ という多項式の計算では、同類項でまとめて $3x+2x$ と $-7y+9y$ とでそれぞれ計算することで結果を得ることができます。1年で学んだ分配法則などを思い出して、効率よく、正確に計算できるように練習しましょう。

要点

括弧をはずす
(1) $+( )$ なら $( )$ 内の各項の符号は変わらない。分配法則を思い出して利用する。

例 

\begin{eqnarray}
& & 3(2x-3y) \\
&=& 3 \times 2x + 3 \times (-3y) \\
&=& 6x-9y
\end{eqnarray}

 
(2) $―( )$ なら $( )$ 内の各項の符号が変わる。

例 

\begin{eqnarray}
& & -3(2x-3y) \\
&=& (-3) \times 2x + (-3) \times (-3y) \\
&=& -6x+9y
\end{eqnarray}

 
多項式の加法・減法:次の手順で計算する
(1) 括弧をはずす。
(2) 同類項をまとめる。
項を並べかえる $\to$ 同類項を集める $\to$ 係数の計算

例1 

\begin{eqnarray}
& & (x^2-3x)-(2x^2-2x-3) \\
&=& x^2-2x^2-3x+2x+3 \\
&=& -x^2-x+3
\end{eqnarray}

例2 

\begin{eqnarray}
& & \frac{3x-y}{2}-\frac{2x+3y}{3} \\
&=& \frac{3(3x-y)}{6}-\frac{2(2x+3y)}{6} \\
&=& \frac{3(3x-y)-2(2x+3y)}{6} \\
&=& \frac{9x-3y-4x-6y}{6} \\
&=& \frac{5x-9y}{6}
\end{eqnarray}

単項式の乗法と除法

本節では単項式の乗法と除法の計算方法について考えましょう。除法は逆数を利用して乗法に直して計算する方法に慣れておくと、複雑な計算式でも正確に計算しやすくなります。

要点

(単項式) $\times$ (単項式):係数どうしの積に文字どうしの積をかける。

例 

\begin{eqnarray}
& & -3b^3 \times (-3a^2b) \\
&=& (-3) \times (-3) \times b^3 \times a^2b \\
&=& 9a^2b^4
\end{eqnarray}

 
(単項式) $\div$ (単項式):係数の商を係数に文字の商を文字にかける。逆数を使って積の式になおすと間違いが減り計算しやすくなる。

例 

\begin{eqnarray}
& & 5a^3 \div \frac{1}{3}a^2 \\
&=& 5a^3 \times \frac{3}{a^2} \\
&=& \frac{5a^3 \times 3}{a^2} \\
&=& 15a
\end{eqnarray}

 
式の値:式を計算して簡単にしてから代入する(その方が計算が楽になることが多い)。

例 

$a=2,b=-\frac{1}{3}$ のとき $6a^3b^4 \div 2a^2 \div 3ab^2$ の値 $\to$ $6a^3b^4 \div 2a^2 \div 3ab^2$$=b^2=\left(-\frac{1}{3}\right)^2=\frac{1}{9}$ と求まる。

 

文字式の利用

本節では、複数の文字をふくむ式を使って、いろいろなことがらを説明し、問題を解決してみましょう。たとえば「2つの奇数の和は偶数になる」ことを説明することを考えます。$m,n$ を整数とすると2つの奇数は $2m+1, 2n+1$ として表すことができます。これらの和は $(2m+1)+(2n+1)$$=2m+2n+2$$=2(m+n+1)$ となり $m+n+1$ が整数であるから、2つの奇数の和は偶数になるといえます。このように、文字式を使えば、さまざまなことがらを説明することができるようになります。いろいろな問題に触れて、文字式を使った説明を習得しましょう(このような問は「数学オリンピック」や「数学検定」などにも頻繁に出題される奥が深い問題です。興味のある学生は、図書館などで、これらに関する本を読んでみることをお勧めします)。

要点

整数の表し方:$n$ は整数とする。
(1) 偶数 $\to$ $2n$ 等で表現。
(2) 奇数 $\to$ $2n-1$ または $2n+1$ 等で表現。
(3) 連続する3つの整数 $\to$ $n,n+1,n+2$ または $n-1,n,n+1$ 等で表現。
(4) 連続する3つの奇数 $\to$ $2n-1,2n+1,2n+3$ 等で表現。
※ 「2つの奇数・2つの偶数」などのように「連続する」という指定がない場合は、それぞれ異なる文字を使って表現する。2つの奇数の場合は $m,n$ を整数として $2m+1, 2n+1$ とすることで「2つの奇数」を表現できる。
(5) 3の倍数 $\to$ $3n$ 等で表現。
(6) 3で割って1余る数 $\to$ $3n+1$ 等で表現。
(7) 3で割って2余る数 $\to$ $3n+2$ 等で表現。

等式の変形:目的に応じて式を変形する。等式を変形してある文字について解く。

例 

$V=\frac{1}{3}a^2h$ という四角錐の体積を求める式を、高さ $h$ について解く。
\begin{eqnarray}
V &=& \frac{1}{3}a^2h \\
V \times 3 &=& \frac{1}{3}a^2h \times 3 \\
3V \times \frac{1}{a^2} &=& a^2h \times \frac{1}{a^2} \\
\frac{3V}{a^2} &=& h \\
h &=& \frac{3V}{a^2}
\end{eqnarray}

 

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takara_semi
著者紹介 旧帝大学生。自然科学/社会学/教育学/健康増進医学/工学/数学など、および学際的な研究領域に興味があります。

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