４章：比例と反比例

変数：いろいろな値をとる文字。主に $x$, $y$, $z$ が変数として利用される。
関数：2つの変数 $x$, $y$ があり変数 $x$ の値を決めるとそれにともなって変数 $y$ の値が定まる時 $y$ は $x$ の関数であるという。
変域：変数の取り得る値の範囲。

例　

変数 $x$ の取り得る値の範囲が $0$ 以上$5$ 未満のとき $x$ の変域は不等号を使って $0≦x＜5$ と表すことができる。
※ 変域を数直線上で表現する場合：端の数を含む場合は ● 含まない場合は ○ を使って表すことが多い。つまり端の数を含む $≧, ≦$ の記号の場合は ● 端の数を含まない $>, <$ の記号の場合は ○ を使って表す。
　
比例を表す式：$y$ は $x$ に比例 $\to$ $y=ax$ ($a$ は定数で $a \neq 0$) また比例の式の中の文字 $a$ は定数であり比例定数という。

例　

縦が $5$cm 横が $x$cm の長方形の面積を $y$${\rm cm^2}$とする。このとき $y$ を $x$ の式で表すと $y=5x$ となる。このとき比例定数は $5$ となる。

座標：横の直線を $x$ 軸または横軸、縦の直線を $y$ 軸または縦軸、 $x$ 軸 $y$ 軸を合わせて座標軸、座標軸の交点 $O$ を原点という。原点は平面においては $(x,y)=(0,0)$ である。また任意の点 ${\rm P}$ の位置を表すためには ${\rm P}(m,n)$ と書く。このとき $m$ を点 ${\rm P}$ の $x$ 座標 $n$ を点 ${\rm P}$ の $y$ 座標 $(m,n)$ を点 ${\rm P}$ の座標という。
　

比例 $y=ax$ のグラフ：
(1) 原点 $(x,y)=(0,0)$ を通る直線。
(2) 比例定数が $a>0$ のとき $\to$ 右上がり。
(3) 比例定数が $a<0$ のとき $\to$ 右下がり。
(4) 描き方：原点と他の1点 $(x,y)=(m,n)$ を求めて直線で結ぶ。$x \neq 0$ のとき $\frac{y}{x}=\frac{m}{n}=a$ の値は一定で比例定数 $a$ に等しいため比例の表やグラフが与えられれれば比例の式 $y=ax$ を求められる。また反対に比例の式 $y=ax$ が与えられれば比例の表やグラフを求めることができる。
　

反比例：$y$ は $x$ に反比例 $\to$ $y=\frac{a}{x}$ ($a$は定数, $a \neq 0$, $x \neq 0$) ここで定数 $a$ は比例定数とよばれる（比例の関係の時と同様）。また反比例のグラフはなめらかな2つの曲線となり、この曲線を双曲線という。この $y=\frac{a}{x}$ のグラフは $x$ 軸および $y$ 軸とは交わらない（軸を延長しても交わることはない）。

反比例のグラフ：
(1) 双曲線とよばれる曲線になる。
(2) 原点について点対称である。
(3) 比例定数 $a$ が $a>0$ のとき $\to$ $x$ が増加するとき $y$ は減少する。
(4) 比例定数 $a$ が $a<0$ のとき $\to$ $x$ が増加するとき $y$ も増加する。 (5) 描き方：点 $(x,y)=(m,n)$ が得られたとき $xy=mn=a$ の値は一定で比例定数 $a$ に等しいため反比例の表やグラフが与えられれれば反比例の式 $y=\frac{a}{x}$ を求められる。また反対に反比例の式 $y=\frac{a}{x}$ が与えられれば反比例の表やグラフを求めることができる。

　

ともなって変わる3つの変数 $x,y,z$ があって関係 $z=xy$ が成り立つとき：
(1) $x$ が一定なら $z$ は $y$ に比例する（ $z=ay$ ($a$ は定数)）。$y$ が一定なら $z$ は $x$ に比例する（ $z=ax$ ($a$ は定数)）。
(2) $z$ が一定なら $y$ は $x$ に反比例する（ $y=\frac{a}{x}$ ($a$は定数)）。$x$は$y$に反比例する（$x=\frac{a}{y}$ ($a$は定数)）。