3章:1次方程式

各種SNSで記事を共有

🔄 最終更新日 2019年12月11日 by takara_semi


中1 > 3章:1次方程式

この章では身近な場面で求めたい数量がある時に、その数量を文字で表現して等式をつくり、その解を求める方法について考えます。問題文から自力で問題に合う1次方程式を考えるには慣れが必要です。たくさんの問題に触れて、自信を持って1次方程式をつくることができるようになりましょう。

1次方程式

式の中の文字に代入する値によって成り立つ場合とそうでない場合がある等式を方程式と言います。たとえば $x+100=200$ という等式は $x=100$ では成り立ちますが $x=200$ では成り立ちません。また方程式を成り立たせる文字の値を方程式のといいます。先の例では $x=100$ が方程式の解となります。そしてこのように方程式の解を求めることを方程式を解くといいます。また式を移項などで整理することで(1次式)$=0$ $(ax+b=0)$ ただし $a \neq 0$ の形に変形できる方程式を特に1次方程式という。1次方程式の計算では、方程式を解いた後に検算のために式の中の文字に解を代入して成り立つかどうかを確かめるようにしましょう。

要点

等式の性質: $A=B$ ならば:
(1) $A+C=B+C$:両辺に同じ数を足しても等式が成り立つ。

例 

\begin{eqnarray}
x-3 &=& 4 \\
x-3+3&=& 4+3 \\
x &=& 7
\end{eqnarray}

 
(2) $A-C=B-C$:両辺から同じ数を引いても等式が成り立つ。

例 

\begin{eqnarray}
x+4 &=& 6 \\
x+4-4&=& 6-4 \\
x &=& 2
\end{eqnarray}

 
(3) $AC=BC$:両辺に同じ数を掛けても等式が成り立つ。

例 

\begin{eqnarray}
\frac{x}{4} &=& 3 \\
\frac{x}{4} \times 4 &=& 3 \times 4 \\
x &=& 12
\end{eqnarray}

 
(4) $\frac{A}{C}=\frac{B}{C} (C \neq 0)$:両辺を $0$ でない同じ数で割っても等式が成り立つ。

例 

\begin{eqnarray}
4x &=& 12 \\
\frac{4x}{4} &=& \frac{12}{4} \\
x &=& 3
\end{eqnarray}

 
(5) $B=A$:左辺と右辺を入れかえても等式が成り立つ。

例 

\begin{eqnarray}
4 &=&2x+8 \\
2x+8&=&4
\end{eqnarray}

 
1次方程式の解き方:次の手順で解く。
(1) 文字を含む項を左辺に数の項を右辺に移項する。
※ 移項:等式の一方にある項を、その項の符号を変えて他方に移すこと。
(2) 両辺を計算して $ax=b$ の形にする。
(3) $x$ の係数 $a$ で両辺を割って解 $x=\frac{b}{a}$ を求める。

例 

\begin{eqnarray}
3x+5 &=& x+9 \\
3x-x &=& 9-5 \\
2x &=& 4 \\
x &=&\frac{4}{2} \\
x &=& 2
\end{eqnarray}
※「$=$」を縦にそろえて書くと分かりやすいため、このような書き方に慣れておくと、とてもよい。方程式の変形は数学の基礎となるため、綺麗に分かりやすく解答することも非常に重要である。
 

 
いろいろな形の1次方程式の解き方
(1) かっこを含む1次方程式 $\to$ かっこをはずしてから解く。

例 

\begin{eqnarray}
4(-x+4) &=& 3(2x-\frac{4}{3}) \\
-4x+16 &=& 6x-4 \\
-4x-6x &=& -4-16 \\
-10x &=& -20\\
x &=& \frac{-20}{-10}\\
x &=& 2
\end{eqnarray}
※ このようにかっこをはずして整数係数の1次方程式として解く。

 
(2) 小数を含む1次方程式 $\to$ 係数を整数にするために両辺に $10, 100, 1000$ 等をかける。

例 

\begin{eqnarray}
0.12x-0.04 &=& 0.1x+0.24 \\1.64
12x-4 &=& 10x+24 \\
12x-10x &=& 24+4 \\
2x &=& 28\\
x &=& \frac{28}{2}\\
x &=& 14
\end{eqnarray}
※ 両辺に $100$ を掛けて整数係数の1次方程式として解く。

 
(3) 分数を含む1次方程式 $\to$ 分母の最小公倍数を両辺にかける。

例 

\begin{eqnarray}
\frac{x-2}{3} &=& \frac{2x}{9}+1\\
\frac{x-2}{3} \times 9 &=& \left( \frac{2x}{9}+1 \right) \times 9\\
3(x-2) &=& 2x+9 \\
3x-6 &=& 2x+9 \\
3x-2x &=& 9+6 \\
x &=& 15
\end{eqnarray}
※ 両辺に分母の最小公倍数である $9$ を掛けて整数係数の1次方程式として解く。また係数に分数を含む方程式で分母の公倍数を両辺にかけて、分数を含まない形に変形することを分母をはらうという。
 

 
比例式:比が等しいことを表す式を比例式という。$a:b=c:d$ のとき $ad=bc$ が成り立つ。

例 

\begin{eqnarray}
3:4 &=& 2x:5\\
2x \times 4 &=& 3 \times 5\\
8x &=& 15 \\
x &=& \frac{15}{8}
\end{eqnarray}

 

1次方程式の利用

方程式を利用して様々な問題を解決してみましょう。たくさんの問題に取り組むことで方程式を利用することがいかに便利かを実感することができます。

要点

1次方程式を利用した問題の解法:次の手順で解く:
STEP1:問題の意味を考えて文字を選ぶ(求める数量を $x$ で表す。最初に何を $x$ とするかを明記する)。
STEP2:数量の間の関係を見つけて方程式をつくる。
STEP3:つくった方程式を解く。
STEP4:方程式の解が問題に適するかを確かめる(解の検討)。方程式の解であってもその問題に適しないことがある。

例 

STEP1:リンゴとミカンの個数が合わせて10個ある。リンゴの個数を $x$ 個とするとミカンの個数は $10-x$ 個。
STEP2:リンゴが1個200円ミカンが1個50円で合計の代金が1100円だとすると $200x+50(10-x)=1000$ という方程式をつくることができる。
STEP3
\begin{eqnarray}
200x+50(10-x) &=& 1100 \\
150x &=& 600 \\
x &=& 4
\end{eqnarray}

 
STEP4:リンゴが4個ミカンが6個のとき確かに合計1100円になるため解として適している。


目次に戻る

各種SNSで記事を共有
takara_semi
著者紹介 旧帝大学生。自然科学/社会学/教育学/健康増進医学/工学/数学など、および学際的な研究領域に興味があります。

コメントする

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です

CAPTCHA


このサイトはスパムを低減するために Akismet を使っています。コメントデータの処理方法の詳細はこちらをご覧ください

error: