2章:文字と式

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🔄 最終更新日 2019年12月11日 by takara_semi


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小学校では「数」を用いた式を考えてきましたが、本章では「文字」を用いた式を学び、数式の表現の手段を大きく広げましょう。文字式の理解は中学数学理解の根幹となる重要な内容です。「数」と「文字」の違いを正しく理解し、文字を利用した式の表現方法や計算方法について習得しましょう。

文字を使った式

文字を使った式を利用することで、求めたい数を簡単に計算できることが多くあります。例えばマッチ棒を使って正方形を作る時、1個なら $4$ 本 2個なら $7$ 本…となりますが、1000個の正方形を作るにはいくつのマッチ棒が必要でしょうか。実は正方形の数を文字 $x$ と表現すると、必要なマッチ棒の本数は $1+3 \times x$ 本となります。つまり、1000個の正方形を作るには $1+3 \times 1000$$=3001$ 本のマッチ棒が必要であることが分かります。子のように,実際に数えたらきりがない問題も、法則を見つけて文字式で表現することで、簡単に計算することができます。例を挙げればきりがありませんが、中学数学を学び終えた時には、数式に「文字」を利用することがいかに便利なことかを理解できることでしょう。

要点

文字式の表し方
(1) 乗法の記号 $\times$ をはぶいて書く。

例 

$a \times b = ab$

 
(2) 数を文字の前に書く。

例 

$x \times 3 \times y = 3xy$

 
(3) 同じ文字の積は累乗の指数を使って書く。

例 

$a \times b \times b = ab^2$

 
(4) 除法の記号 $\div$ を使わず分数の形で書く。

例 

$3 \times x \div 4 = \frac{3x}{4}$
※ 例えば$\frac{3x}{4}$は$\frac{3}{4}x$,$\frac{a}{5}$は$\frac{1}{5}a$ と書いてもよい。

 
(5) 文字はアルファベット順に書く。

例 

$b \times c \times a = abc$

 
数量を式で表す
(1) 代金 $=$ 1個の値段 $\times$ 個数
(2) 道のり $=$ 速さ $\times$ 時間 

例 

$a$ km の道のりを歩くのに $3$ 時間かかった。歩く速さを求める $\to$ 毎時 $\frac{a}{3}$ km (※距離と速さと時間の関係は正確に理解しておくこと。例えば車などの速さがkm/時のように表されていることを知っていれば、速さ $=\frac{距離(km)}{時間(時)}$ということが分かるので計算を確かめることができる。)

 
(3) 3けたの整数:$100a+10b+c$
(4) 利益 $=$ 売価 $-$ 原価 $=$ 原価 $\times$ 利益率
(5) 食塩水の濃度(%) $=$ $\frac{食塩の重さ}{食塩水の重さ}\times 100$
(6) 平均 $=$ $\frac{全体の和}{全体の個数}$
(7) 割合:$a$割 $\to$ $\frac{a}{10}$
(8) 割合:$a$% $\to$ $\frac{a}{100}$ 

例 

全校生徒 $b$ 人の学校のうち $31$% の生徒が自転車通学をしている。自転車通学の人数を求める $\to$ $b \times \frac{31}{100}$$=\frac{31}{100}b$ 人

 
代入と式の値
式の中の文字を数に置き換えることを代入といい代入して計算した結果を式の値という。

例 

$x=-2$ のとき $x^3$ の値を求める。$x^3$ に $x=-2$ を代入すると $(-2)^3$$=(-2) \times (-2) \times (-2) $$=-8$ よって求める式の値は $-8$

 

文字式の計算

ここでは文字式を計算する方法を学びます。例えば $3+2x$ という式を考えると加法の記号 $+$ で結ばれた $3,2x$ のそれぞれをといい $2x$ という項で数の部分の $3$ を $x$ の係数といいますまた $2x$ のように文字が1つだけ掛けられている項を1次の項といい、1次の項と数の項の和で表現できる式を1次式といいます。文字式の計算、例えば1次式の計算では、文字の部分が同じ項(同類項)をあつめて計算します。1次式の計算は後に学ぶ1次方程式や関数、2次方程式の計算などの基礎となります。沢山手を動かして文字式の計算に慣れておくと、これから学ぶ多くの数学の内容について得意になることでしょう。

要点

1次式と数との積:1次式の各項にそれぞれ数をかける。分配法則を利用。

例 

$3(5x-3)$$=3 \times 5x-3 \times 3$$=15x-9$

 
1次式の加法・減法:「1次の項」「数の項」どうしでそれぞれ計算する。

例 

$(3x-1)-(2x+1)$$=(3x-2x)+(-1-1)$$=x-2$ ※引くことは符号を変えて加えることと同じ。1次式の減法は引く方の式の各項の符号をそれぞれ変えて加える。

 
等式と不等式:等号 $=$ を使って数量の間の関係を表した式を等式という。また不等号 $ > , < $ を使って数量の間の関係を表した式を不等式という(等号を含む不等式 $≧, ≦$ もある)。等号や不等号の左の部分を左辺、右の部分を右辺、あわせて両辺という。

例1 

$a$ は $b$ より大きい $\to$ $a > b$

 

例2 

$a$ は $b$ 以上 $\to$ $a ≧ b$

 

例3 

$a$ は $b$ 以下 $\to$ $a ≦ b$

 

例4 

$a$ は $b$ より小さい(未満) $\to$ $a < b$

数学で使う文字について:数学で使う文字の多くは英単語の頭文字である(例外もある)。英語を知っていると何故この文字を使うのか納得できることが多くある。
(単位1) 速さの単位 $km/h$ の $h$ $\to$ hour(時間)
(単位2) 速さの単位 $m/min$ の $min$ $\to$ minute(分)
(文字1) 「円の半径」の文字 $r$ $\to$ radius(半径)
(文字2) 「長さ」の文字 $\ell$ $\to$ length(長さ)
(文字3) 円周率 $\pi$ $\to$ 円周率 $=$$\frac{円周}{直径}$ で $3.141592…$ と無限に続く数。

数学が面白くなる動画―5 

円周率 $\pi$ の歴史と活用方法について考えてみましょう。


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著者紹介 旧帝大学生。自然科学/社会学/教育学/健康増進医学/工学/数学など、および学際的な研究領域に興味があります。

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