60分で読める中１数学【2020年版】

要点

正の数：$0$ より大きい数

例　

$+7$, $+1.5$, +$\frac{1}{3}$

負の数：$0$ より小さい数

例　

$-3$, $-0.7$, $-\frac{5}{2}$

※ $0$ は正でも負でもない数。また正の整数を自然数という。

例　

$1,2,3,…$

数の大小：右が大きい数として数直線上で比べる。$0$ を基準（原点）としたとき $0$ より右側（正の方向）に正の数が、左側（負の方向）に負の数が並ぶ。つまり、正の数は $0$ より大きく負の数は $0$ より小さい。
$a$ の絶対値：数直線上で原点から点 $a$ までの距離のこと。

例　

$-3$ の絶対値は $3$, $+3$ の絶対値も $3$ となる。負の数は絶対値が大きいほど数の大小としては小さい数になる。

要点

加法①：同符号の2数の和：加法の結果を「和」という。同符号の2数の和では絶対値の和に共通の符号をつける。

例　

$(-3)+(-2)$$=-(3+2)$$=-5$

加法②：異符号の2数の和：
(1) 絶対値の差に絶対値が大きい方の符号をつける。

例　

$(+3)+(-2)$$=+(3-2)$$=-1$

(2) 絶対値が等しいときは $0$ になる。

例　

$(+97)+(-97)=0$

※ $0$ との加法：どんな数に $0$ を加えても和ははじめの数になる。　

例　

$(-8)+0=-8$, $0+(+3)=3$

減法：減法の結果を「差」という。減法の計算では引く数の符号を変えて足す（加法にして計算する）。

例　

$(+8)-(-2)$$=(+8)+(+2)$$=10$ つまり $-2$ を引くことは $+2$ を加えることと同じ。
※ $0$ との減法：どんな数から $0$ を引いても差ははじめの数になる。

例　

$(-3)-0=-3$, $0-(+10)=10$

3つ以上の数の加法・減法：
(1) 左から順に計算する。
(2) 加法と減法の混じった式では加法だけの式にする。

例　

$(+3)+(-5)-(-6)-(+2)$$=(+3)+(-5)+(+6)+(-2)$
※ $+3, -5, -6, +2$ を式の項という。

(3) 正の項と負の項の和をそれぞれ求めて計算する。

例　

$(+3)+(-5)+(+6)+(-2)$$=(3+6)+(-5-2)$$=(+9)+(-7)=2$

要点

同符号の2数の積・商：絶対値の積・商に $+$ の符号をつける。

例　

$(-1) \times (-1)=1$

異符号の2数の積・商：絶対値の積・商に $-$ の符号をつける。

例　

$(-1) \times (+1)=-1$

0との積・商：$0$ との積は $0$ になる。$0$ を $0$ でない数で割ると $0$ になる。$0$ では割れない。

例　

$376 \times 0=0$, $0 \div 33=0$, $3 \div 0$ は計算できない。

数学が面白くなる動画―1　

0で割ると数学の世界がめちゃくちゃになる？「0で割る」を禁止する理由。

数学が面白くなる動画―2　

無限大にも大きさはあるのでしょうか？かんがえてみましょう。

累乗：同じ数をいくつか掛けたものを累乗という。また掛け合わせた数を示す右肩に小さく書いた数を指数という。
例1）$3 \times 3 = 3^2$（$3$ の $2$ 乗。指数は$2$。$2$乗を平方ともいう）
例2）$3 \times 3 \times 3= 3^3$（$3$ の $3$乗。指数は$3$。$3$乗を立方ともいう）
逆数：2つの数の積が $1$ のとき一方の数を他方の数の逆数という。
(1) $-3$ の逆数は $(-3) \times \left(-\frac{1}{3} \right)=1$ であるから $-\frac{1}{3}$ だと分かる。
(2) 逆数を利用することで除法を乗法になおすことができる。

例　

$10 \div (-5)$$=10 \times \left(-\frac{1}{5} \right)$$=-2$
※ 分数の負の数の表現について：

(1) $\frac{-a}{b}$$=(-a) \div b$$=-(a \div b)$$=-\frac{a}{b}$ である。
(2) $\frac{a}{-b}$$=a \div (-b)$$=-(a \div b)$$=-\frac{a}{b}$ である。
(1)(2)より、分数の分子もしくは分母に $-$ が付いているときは分数の前に移動させることができる。

乗法と除法の混じった式：除法は逆数を利用して乗法に直して計算する。また符号は負の数が奇数個あれば $-$ 負の数が偶数個あれば $+$ となる。

例　

$(-3) \div \frac{1}{3} \times (-2)$$=+(3 \times 3 \times 2)=18$

要点

計算法則：
(1)加法について：
交換法則：$A+B=B+A$
結合法則：$(A+B)+C=A+(B+C)$
分配法則：$(A+B) \times C$$=A \times C+B \times C$

(2)乗法について：
交換法則：$A \times B=B \times A$
結合法則：$(A \times B) \times C=A \times (B \times C)$
分配法則：$A \times (B+C)$$=A \times B+A \times C$
四則の混じった式の計算：
(1) 加減と乗除の混じった計算では乗法・除法を先に計算する。
(2) 括弧のある式の計算では括弧の中を先に計算する。
(3) 累乗のある式の計算では累乗を先に計算する（累乗は乗法としてみることができる）。

例　

$-3^2-2 \times (-3)$$=-(3 \times 3)+(-2) \times (-3)$$=-9+6=-3$

正負の数を利用した身近な計算

例1　

身長：平均身長との差を考える。13歳の平均身長が $158$cm だとすると $160$cmのAくんは平均 $+2$cm $155$cmのBくんは平均 $-3$cmと表現できる。

例2　

気温：天気予報では前日の気温と比較した今日の気温が書かれていることが多い。前日が $20℃$ で翌日の気温が $17℃$ だった場合は $17℃(-3℃)$ のように書かれる。もし今日の気温が $25℃$ だった場合は $25℃(+5℃)$ のように書かれる。

数学が面白くなる動画―3　

なぜ私たちは $=$ や $+$ や $-$ の記号を使うのでしょうか？

数学が面白くなる動画―4　

正しい計算の順番で竜を倒す物語。

要点

文字式の表し方：
(1) 乗法の記号 $\times$ をはぶいて書く。

例　

$a \times b = ab$

　
(2) 数を文字の前に書く。

例　

$x \times 3 \times y = 3xy$

　
(3) 同じ文字の積は累乗の指数を使って書く。

例　

$a \times b \times b = ab^2$

　
(4) 除法の記号 $\div$ を使わず分数の形で書く。

例　

$3 \times x \div 4 = \frac{3x}{4}$
※ 例えば$\frac{3x}{4}$は$\frac{3}{4}x$，$\frac{a}{5}$は$\frac{1}{5}a$ と書いてもよい。

　
(5) 文字はアルファベット順に書く。

例　

$b \times c \times a = abc$

　
数量を式で表す：
(1) 代金 $=$ 1個の値段 $\times$ 個数
(2) 道のり $=$ 速さ $\times$ 時間　

例　

$a$ km の道のりを歩くのに $3$ 時間かかった。歩く速さを求める $\to$ 毎時 $\frac{a}{3}$ km （※距離と速さと時間の関係は正確に理解しておくこと。例えば車などの速さがkm/時のように表されていることを知っていれば、速さ $=\frac{距離(km)}{時間(時)}$ということが分かるので計算を確かめることができる。）

　
(3) 3けたの整数：$100a+10b+c$
(4) 利益 $=$ 売価 $-$ 原価 $=$ 原価 $\times$ 利益率
(5) 食塩水の濃度(%) $=$ $\frac{食塩の重さ}{食塩水の重さ}\times 100$
(6) 平均 $=$ $\frac{全体の和}{全体の個数}$
(7) 割合：$a$割 $\to$ $\frac{a}{10}$
(8) 割合：$a$% $\to$ $\frac{a}{100}$　

例　

全校生徒 $b$ 人の学校のうち $31$% の生徒が自転車通学をしている。自転車通学の人数を求める $\to$ $b \times \frac{31}{100}$$=\frac{31}{100}b$ 人

　
代入と式の値：
式の中の文字を数に置き換えることを代入といい代入して計算した結果を式の値という。

例　

$x=-2$ のとき $x^3$ の値を求める。$x^3$ に $x=-2$ を代入すると $(-2)^3$$=(-2) \times (-2) \times (-2) $$=-8$ よって求める式の値は $-8$

　

要点

1次式と数との積：1次式の各項にそれぞれ数をかける。分配法則を利用。

例　

$3(5x-3)$$=3 \times 5x-3 \times 3$$=15x-9$

　
1次式の加法・減法：「1次の項」「数の項」どうしでそれぞれ計算する。

例　

$(3x-1)-(2x+1)$$=(3x-2x)+(-1-1)$$=x-2$ ※引くことは符号を変えて加えることと同じ。1次式の減法は引く方の式の各項の符号をそれぞれ変えて加える。

　
等式と不等式：等号 $=$ を使って数量の間の関係を表した式を等式という。また不等号 $ > , < $ を使って数量の間の関係を表した式を不等式という（等号を含む不等式 $≧, ≦$ もある）。等号や不等号の左の部分を左辺、右の部分を右辺、あわせて両辺という。

例1　

$a$ は $b$ より大きい $\to$ $a > b$

　

例2　

$a$ は $b$ 以上 $\to$ $a ≧ b$

　

例3　

$a$ は $b$ 以下 $\to$ $a ≦ b$

　

例4　

$a$ は $b$ より小さい（未満） $\to$ $a < b$

※ 数学で使う文字について：数学で使う文字の多くは英単語の頭文字である（例外もある）。英語を知っていると何故この文字を使うのか納得できることが多くある。
(単位1) 速さの単位 $km/h$ の $h$ $\to$ hour（時間）
(単位2) 速さの単位 $m/min$ の $min$ $\to$ minute（分）
(文字1) 「円の半径」の文字 $r$ $\to$ radius（半径）
(文字2) 「長さ」の文字 $\ell$ $\to$ length（長さ）
(文字3) 円周率 $\pi$ $\to$ 円周率 $=$$\frac{円周}{直径}$ で $3.141592…$ と無限に続く数。

数学が面白くなる動画―5　

円周率 $\pi$ の歴史と活用方法について考えてみましょう。

要点

等式の性質： $A=B$ ならば：
(1) $A+C=B+C$：両辺に同じ数を足しても等式が成り立つ。

例　

\begin{eqnarray}
x-3 &=& 4 \\
x-3+3&=& 4+3 \\
x &=& 7
\end{eqnarray}

　
(2) $A-C=B-C$：両辺から同じ数を引いても等式が成り立つ。

例　

\begin{eqnarray}
x+4 &=& 6 \\
x+4-4&=& 6-4 \\
x &=& 2
\end{eqnarray}

　
(3) $AC=BC$：両辺に同じ数を掛けても等式が成り立つ。

例　

\begin{eqnarray}
\frac{x}{4} &=& 3 \\
\frac{x}{4} \times 4 &=& 3 \times 4 \\
x &=& 12
\end{eqnarray}

　
(4) $\frac{A}{C}=\frac{B}{C} (C \neq 0)$：両辺を $0$ でない同じ数で割っても等式が成り立つ。

例　

\begin{eqnarray}
4x &=& 12 \\
\frac{4x}{4} &=& \frac{12}{4} \\
x &=& 3
\end{eqnarray}

　
(5) $B=A$：左辺と右辺を入れかえても等式が成り立つ。

例　

\begin{eqnarray}
4 &=&2x+8 \\
2x+8&=&4
\end{eqnarray}

　
1次方程式の解き方：次の手順で解く。
(1) 文字を含む項を左辺に数の項を右辺に移項する。
※ 移項：等式の一方にある項を、その項の符号を変えて他方に移すこと。
(2) 両辺を計算して $ax=b$ の形にする。
(3) $x$ の係数 $a$ で両辺を割って解 $x=\frac{b}{a}$ を求める。

例　

\begin{eqnarray}
3x+5 &=& x+9 \\
3x-x &=& 9-5 \\
2x &=& 4 \\
x &=&\frac{4}{2} \\
x &=& 2
\end{eqnarray}
※「$=$」を縦にそろえて書くと分かりやすいため、このような書き方に慣れておくと、とてもよい。方程式の変形は数学の基礎となるため、綺麗に分かりやすく解答することも非常に重要である。
　

　
いろいろな形の1次方程式の解き方
(1) かっこを含む1次方程式 $\to$ かっこをはずしてから解く。

例　

\begin{eqnarray}
4(-x+4) &=& 3(2x-\frac{4}{3}) \\
-4x+16 &=& 6x-4 \\
-4x-6x &=& -4-16 \\
-10x &=& -20\\
x &=& \frac{-20}{-10}\\
x &=& 2
\end{eqnarray}
※ このようにかっこをはずして整数係数の1次方程式として解く。

　
(2) 小数を含む1次方程式 $\to$ 係数を整数にするために両辺に $10, 100, 1000$ 等をかける。

例　

\begin{eqnarray}
0.12x-0.04 &=& 0.1x+0.24 \\1.64
12x-4 &=& 10x+24 \\
12x-10x &=& 24+4 \\
2x &=& 28\\
x &=& \frac{28}{2}\\
x &=& 14
\end{eqnarray}
※ 両辺に $100$ を掛けて整数係数の1次方程式として解く。

　
(3) 分数を含む1次方程式 $\to$ 分母の最小公倍数を両辺にかける。

例　

\begin{eqnarray}
\frac{x-2}{3} &=& \frac{2x}{9}+1\\
\frac{x-2}{3} \times 9 &=& \left( \frac{2x}{9}+1 \right) \times 9\\
3(x-2) &=& 2x+9 \\
3x-6 &=& 2x+9 \\
3x-2x &=& 9+6 \\
x &=& 15
\end{eqnarray}
※ 両辺に分母の最小公倍数である $9$ を掛けて整数係数の1次方程式として解く。また係数に分数を含む方程式で分母の公倍数を両辺にかけて、分数を含まない形に変形することを分母をはらうという。
　

　
比例式：比が等しいことを表す式を比例式という。$a:b=c:d$ のとき $ad=bc$ が成り立つ。

例　

\begin{eqnarray}
3:4 &=& 2x:5\\
2x \times 4 &=& 3 \times 5\\
8x &=& 15 \\
x &=& \frac{15}{8}
\end{eqnarray}

　

要点

1次方程式を利用した問題の解法：次の手順で解く：
STEP1：問題の意味を考えて文字を選ぶ（求める数量を $x$ で表す。最初に何を $x$ とするかを明記する）。
STEP2：数量の間の関係を見つけて方程式をつくる。
STEP3：つくった方程式を解く。
STEP4：方程式の解が問題に適するかを確かめる（解の検討）。方程式の解であってもその問題に適しないことがある。

例　

STEP1：リンゴとミカンの個数が合わせて10個ある。リンゴの個数を $x$ 個とするとミカンの個数は $10-x$ 個。
STEP2：リンゴが1個200円ミカンが1個50円で合計の代金が1100円だとすると $200x+50(10-x)=1000$ という方程式をつくることができる。
STEP3：
\begin{eqnarray}
200x+50(10-x) &=& 1100 \\
150x &=& 600 \\
x &=& 4
\end{eqnarray}

　
STEP4：リンゴが4個ミカンが6個のとき確かに合計1100円になるため解として適している。

要点

変数：いろいろな値をとる文字。主に $x$, $y$, $z$ が変数として利用される。
関数：2つの変数 $x$, $y$ があり変数 $x$ の値を決めるとそれにともなって変数 $y$ の値が定まる時 $y$ は $x$ の関数であるという。
変域：変数の取り得る値の範囲。

例　

変数 $x$ の取り得る値の範囲が $0$ 以上$5$ 未満のとき $x$ の変域は不等号を使って $0≦x＜5$ と表すことができる。
※ 変域を数直線上で表現する場合：端の数を含む場合は ● 含まない場合は ○ を使って表すことが多い。つまり端の数を含む $≧, ≦$ の記号の場合は ● 端の数を含まない $>, <$ の記号の場合は ○ を使って表す。
　
比例を表す式：$y$ は $x$ に比例 $\to$ $y=ax$ ($a$ は定数で $a \neq 0$) また比例の式の中の文字 $a$ は定数であり比例定数という。

例　

縦が $5$cm 横が $x$cm の長方形の面積を $y$${\rm cm^2}$とする。このとき $y$ を $x$ の式で表すと $y=5x$ となる。このとき比例定数は $5$ となる。

要点

座標：横の直線を $x$ 軸または横軸、縦の直線を $y$ 軸または縦軸、 $x$ 軸 $y$ 軸を合わせて座標軸、座標軸の交点 $O$ を原点という。原点は平面においては $(x,y)=(0,0)$ である。また任意の点 ${\rm P}$ の位置を表すためには ${\rm P}(m,n)$ と書く。このとき $m$ を点 ${\rm P}$ の $x$ 座標 $n$ を点 ${\rm P}$ の $y$ 座標 $(m,n)$ を点 ${\rm P}$ の座標という。
　

比例 $y=ax$ のグラフ：
(1) 原点 $(x,y)=(0,0)$ を通る直線。
(2) 比例定数が $a>0$ のとき $\to$ 右上がり。
(3) 比例定数が $a<0$ のとき $\to$ 右下がり。
(4) 描き方：原点と他の1点 $(x,y)=(m,n)$ を求めて直線で結ぶ。$x \neq 0$ のとき $\frac{y}{x}=\frac{m}{n}=a$ の値は一定で比例定数 $a$ に等しいため比例の表やグラフが与えられれれば比例の式 $y=ax$ を求められる。また反対に比例の式 $y=ax$ が与えられれば比例の表やグラフを求めることができる。
　

要点

反比例：$y$ は $x$ に反比例 $\to$ $y=\frac{a}{x}$ ($a$は定数, $a \neq 0$, $x \neq 0$) ここで定数 $a$ は比例定数とよばれる（比例の関係の時と同様）。また反比例のグラフはなめらかな2つの曲線となり、この曲線を双曲線という。この $y=\frac{a}{x}$ のグラフは $x$ 軸および $y$ 軸とは交わらない（軸を延長しても交わることはない）。

反比例のグラフ：
(1) 双曲線とよばれる曲線になる。
(2) 原点について点対称である。
(3) 比例定数 $a$ が $a>0$ のとき $\to$ $x$ が増加するとき $y$ は減少する。
(4) 比例定数 $a$ が $a<0$ のとき $\to$ $x$ が増加するとき $y$ も増加する。 (5) 描き方：点 $(x,y)=(m,n)$ が得られたとき $xy=mn=a$ の値は一定で比例定数 $a$ に等しいため反比例の表やグラフが与えられれれば反比例の式 $y=\frac{a}{x}$ を求められる。また反対に反比例の式 $y=\frac{a}{x}$ が与えられれば反比例の表やグラフを求めることができる。

　

要点

ともなって変わる3つの変数 $x,y,z$ があって関係 $z=xy$ が成り立つとき：
(1) $x$ が一定なら $z$ は $y$ に比例する（ $z=ay$ ($a$ は定数)）。$y$ が一定なら $z$ は $x$ に比例する（ $z=ax$ ($a$ は定数)）。
(2) $z$ が一定なら $y$ は $x$ に反比例する（ $y=\frac{a}{x}$ ($a$は定数)）。$x$は$y$に反比例する（$x=\frac{a}{y}$ ($a$は定数)）。

要点

直線：2点で定まる。
　

線分：両端のあるもの。
　

半直線：一端だけのあるもの。
　

角：$\angle {\rm ABC}$の大きさを$\angle {\rm ABC}$,$\angle {\rm B}$,$\angle b$で表す。
　

2直線の垂直・平行：
(1) 垂直 $ \ell \perp m$：2直線 $ \ell, m $ が垂直に交わる。
(2) 平行 $ \ell / \! \! / m$：2直線 $ \ell, m $ が交わらない。

距離：「最短」の線分の長さのこと。
(1) 2点間の距離：2点を結ぶ線分の長さ。
(2) 点と直線の距離：点から直線にひいた垂線の長さ。
(3) 平行線の距離：平行な2直線の一方の上にある点と他方の直線との距離。

要点

平行移動：図形を一定の方向に一定の距離だけずらす移動。
平行移動の性質：対応する点を結ぶ線分は平行で長さが等しい。
　

回転移動：図形をある点 $O$ を中心にして一定の角度だけ回転させる移動。中心とする点 $O$ は回転の中心という。
回転移動の性質：対応する点は回転の中心から等しい距離にあり、対応する点と回転の中心とを結んでできる角の大きさが全て等しい。
　

対称移動：図形を1つの直線 $\ell$ を折り目として折り返す移動。直線 $\ell$ を対称の軸という。
対称移動の性質：対称の軸は対応する2点を結ぶ線分の垂直二等分線になる。
　

要点

作図：定規とコンパスだけを用いて図形を描くことを「作図」という。定規は直線をひくために、コンパスは円をかくために用いる。またコンパスは等しい長さをとったり、線分を移したりすることができる。また作図のためにかいた「必要な線」は消さない。
線分の垂直二等分線・中点
　

※ 線分の両端の点を中心に、等しい半径の円を2つかき、その2つの円上にできる2つの交点を結ぶことで、線分の垂直二等分線をかくことができる。垂直二等分線が、2つの点から距離が等しい点の集まりであることを理解していれば、この作図方法を理解しやすい。
角の二等分線
　

※ 1つの角を2等分する半直線を、その角の二等分線という。角の二等分線上のどの点をとっても、角の2辺までの距離が等しく点の集まりであることを理解していれば、この作図方法を理解しやすい。
直線への垂線
　

※ 直線への垂線が、直線上のある2点から等しい距離にある点の集まりであることを理解していれば、この作図方法を理解しやすい。
円と作図：
(1) 弧：円周上の2点をA,BとするときAからBまでの円周の部分を弧 ${\rm AB}$ といい $\stackrel{\frown}{AB}$ と表す。
(2) 弦：円周上の2点を結ぶ線分を弦といい、両端がA,Bである弦を弦 ${\rm AB}$ という。
(3) 接する：直線が1点だけで円と交わる場合を、直線が円に接するといい、この直線を接線、円と直線とが接する点を接点という。
(4) 円の接線：円の接線は接点を通る半径に垂直。円の接線が、接線を対称の軸として移動させた円の中心と元の円の中心の2点から等しい距離にある点の集まりであることを理解していれば作図できる。
いろいろな作図：
(1) 点を決めるには2直線や2円の交点や直線と円の交点とする。
(2) 直線を決めるには通る2点を選ぶ。

要点

半径 $r$ の円：周の長さ $\ell=2 \pi r$, 面積 $S=\pi r^2$
半径 $r$ 中心角 $a^\circ$ のおうぎ形：弧の長さ $\ell=2 \pi r \times \frac{a}{360}$, 面積 $S=\pi r^2 \times \frac{a}{360}=\frac{1}{2}\ell r$
※ 1つの円（半径 $r$ が決められた時）ではおうぎ形の弧の長さと面積は中心角の大きさに比例する。

要点

正多面体：どの面もすべて合同な正多角形であり、どの頂点にも面が同じ数だけ集まっている、へこみのない多面体。正四面体・正六面体（立方体）・正八面体・正十二面体・正二十面体の5種類。
　

　

　

　

　

角柱・角錐・円柱・円錐
(1) 角柱：柱状で、底面が三角形の場合は三角柱、四角形の場合は四角柱、長方形（もしくは正方形）のときは直方体となる。底面が正方形で高さが正方形の1辺の長さに等しい場合は立方体となる。また、底面が正三角形で側面がすべて合同な長方形である角柱を正三角柱、底面が正方形で側面がすべて合同な長方形である角柱を正四角柱という。
　

　

　

(2) 角錐：底面が三角形の場合は三角錐、四角形の時は四角錐となる。また、底面が正三角形で側面がすべて合同な二等辺三角形である角錐を正三角錐、底面が正方形で側面がすべて合同な二等辺三角形である角錐を正四角錐という。
　

　

(3) 円柱：柱状で底面が円になっている立体を円柱という。
　

(4) 円錐：底面が円になっている錐体（※数学用語）を円錐という。
　

要点

平面の決定：以下の(1)～(4)のいずれかが空間に存在するときそれらを含む平面は1つに定まる。
(1) 同じ直線上にない3点。
(2) 交わる2直線。
(3) 平行な2直線。
(4) 1直線とその上にない1点。

2直線の位置関係：空間内にある2つの直線は、交わる場合と交わらない場合がある（平面図形では、交わらない2つの直線は平行である）。空間内で平行でなく交わらない2直線はねじれの位置にあるという。以上のことより2直線の位置関係は以下の(1)(2)のいずれかで表される。
(1) 同じ平面上にある $\to$ (A) 交わる。 (B) 平行である。
(2) 同じ平面上にない $\to$ ねじれの位置にある。
　

直線と平面の位置関係：直線と平面の位置関係は以下の(1)～(3)のいずれかで表される。
(1) 直線が平面に含まれる。直線が平面上にあるともいう。
(2) 1点で交わる。
(3) 交わらない（直線を $\ell$ 平面を ${\rm P}$ とすると $\ell/ \! \! /{\rm P}$）。

2平面の位置関係：平面と平面が交わったところにできる線は直線となり、この線を交線という。2平面の位置関係は以下の(1)(2)のいずれかで表される。
(1) 交わる。
(2) 交わらない（平行である。2つの平面をそれぞれ ${\rm P,Q}$ とすると ${\rm P}/ \! \! /{\rm Q}$）。

直線と平面の垂直：平面 ${\rm P}$ に対してどの方向にも傾いていない直線 $\ell$ を考える。このとき $\ell$ は ${\rm P}$ との交点 ${\rm O}$ を通る ${\rm P}$ 上のどの直線にも垂直になっている。このようなとき、直線 $\ell$ は平面 ${\rm P}$ に垂直であるという（垂直が成り立つ最小の条件としては、平面 ${\rm P}$ と交わる直線 $\ell$ がその交点 ${\rm O}$ を通る ${\rm P}$ 上の2つの直線 $m,n$ に垂直になっていれば、直線 $\ell$ は平面 ${\rm P}$ に垂直であるといえる）。
　

点と平面との距離：1つの点 ${\rm A}$ から平面 ${\rm P}$ に引いた垂線と、平面 ${\rm P}$ との交点を ${\rm H}$ とするとき、線分 ${\rm AH}$ の長さを点 ${\rm A}$ と平面 ${\rm P}$ との距離という。

2平面の垂直：2つの平面 ${\rm P,Q}$ が交わり、この交線 $\ell$ とするとき、 ${\rm P}$ と ${\rm Q}$ のつくる角を考える。平面 ${\rm P,Q}$ のつくる角は、その交線 $\ell$ 上の点で、それぞれの平面上に引いた2つの垂線のつくる角のことである。特に、2つの平面 ${\rm P,Q}$ のつくる角が直角の時、その2つの平面 ${\rm P,Q}$ は垂直であるといい ${\rm P} \perp {\rm Q}$ と表す。
　

要点

回転体：
(1) 円柱：回転させる図形 $\to$ 長方形：回転の軸 $\to$ 1辺
　

(2) 円錐：回転させる図形 $\to$ 直角三角形：回転の軸 $\to$ 直角をはさむ辺
　

(3) 球：回転させる図形 $\to$ 半円：回転の軸 $\to$ 直径
　

回転体の性質：
(1) 回転の軸に垂直な平面で切ると切り口は円となる。
(2) 回転の軸を含む平面で切ると切り口は回転の軸について対称な図形になる。

立体の展開図：立体の展開図では、立体でのすべての辺や面積の形や大きさが表現される。特に特徴的なのが円錐の展開図である。円錐の展開図は側面がおうぎ形、底面が円となる。おうぎ形の弧の長さは底面の円周に等しい。また、おうぎ形の半径は円錐の母線に等しい。
　

立体の投影図：立体を平面としてあらわす方法の一つ（他に見取りや展開図等がある）。立体をある方向から見て平面に表した図を投影図という。立体を真上から見た図を平面図、正面から見た図を立面図といい、立体を投影図で表現する場合、平面図と立面図を用いて表すことが多い（立体の形が読み取れない場合は横から見た図を加えることもある）。
　

要点

表面積：立体の全ての面の面積の和を表面積という。また側面全体の面積を側面積、1つの底面の面積を底面積という。
(1) 角柱・円柱の表面積 $=$ 底面積 $\times 2 +$ 側面積
(2) 角錐・円錐の表面積 $=$ 底面積 $+$ 側面積
※ おうぎ形の面積：円錐の表面積の計算でおうぎ形の面積の計算が必要になる。半径 $r$ 弧の長さ $\ell$ のおうぎ形の面積 $S$ は $S=\frac{1}{2} \ell r$ で求められる（おうぎ形を細長いおうぎ形に細かく分けたもののうちの半分を逆さまにして組み合わせると、2辺の長さがそれぞれ $\frac{1}{2} \ell$, $r$ の長方形になることから確認できる）。
(3) 半径 $r$ の球の表面積 $S$ $=$ $4 \pi r^2$
※ 球の表面積はその球がちょうど入る円柱の側面積と等しい。球の半径を $r$ とすると、その球がちょうど入る円柱は、底面の円周 $2 \pi r$ 高さ $2r$ である。よってその円柱の表面積は $S’=4 \pi r^2$ となる。このことから、球の体積が $S=S’=4 \pi r^2$ となることが確かめられる

体積：
(1) 角柱・円柱の体積 $V$ $=$ 底面積 $S$ $\times$ 高さ $h$ つまり $V=Sh$
(2) 角錐・円錐の体積 $V$ $=$ $\frac{1}{3}$ $\times$ 底面積 $S$ $\times$ 高さ $h$ つまり $V=\frac{1}{3}Sh$
※ $\frac{1}{3}$ をかけると角錐・円錐の面積が求められる理由：一例として、立方体を対角線によって6等分したものを考えることで、角錐の体積が $V=\frac{1}{3}Sh$ となることを確かめられる。円錐についても、丸暗記ではない理解の仕方をしておくと納得して計算ができる（高校数学の「積分」の知識を使うと計算ができるが、中学数学では「円錐のグラス3杯分が同じ底面積・高さの円柱のグラス1杯分と等しくなる」ことなどを実験で確認しておけば十分に理解が深まる）。
(3) 半径 $r$ の球の体積 $V$ $=$ $\frac{4}{3} \pi r^3$
※ 球の体積は、その球がちょうど入る円柱の体積の $\frac{2}{3}$ である。球の半径を $r$ とすると、その球がちょうど入る円柱は、底面積 $\pi r^2$ 高さ $2r$ である。よってその円柱の体積は $V’=2 \pi r^3$ となる。このことから、球の体積が $V=\frac{2}{3}V’=\frac{4}{3} \pi r^3$ となることが確かめられる（高校数学の「積分」の知識を使うと球の体積の計算式を厳密に証明することも可能）。

要点

度数分布表：調査する資料をいくつかの階級に分けて各階級の度数を表にしたもの。
平均値：個々の資料の値の合計を資料の総数で割った値：平均値 $=$ $\{$(階級値$\times$度数)の合計$\}$ $\div$ 度数の合計
中央値（メジアン）：資料の値を大きさの順に並べた時の中央の値。資料の総数が偶数の場合は中央にある2つの値の平均値が中央値となる。
最頻値（モード）：資料の中で最も多く出てくる値。度数分布表では度数の最も多い階級の階級値。ヒストグラムの最も高い山の部分。
　

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要点

近似値：真の値ではないが、それに近い数。例えば四捨五入した数など。はかりやものさしなどの計器では、最小の目もりの $\frac{1}{10}$ を目分量で読み取り四捨五入した値を用いることが多いが、これも近似値であると考えることができる。
誤差：誤差 $=$ 近似値 $-$ 真の値

例　

四捨五入すると $10$ になったある数 $a$ は $9.5≦a<10.5$ の範囲にある。従って、この場合の誤差の絶対値はどんなに大きくても $0.5$ であることがいえる（誤差 $=$ 10 $-$ 真の値($9.5～10.5$) のため）。

有効数字：測定によって得られた数字のうちで信頼できる数字。

例　

$100$ g単位の計量器で計測した時 $2400$ gだと分かった時の有効数字は $2$ と $4$ の $2$ 桁となる（千の位の $2$ と百の位の $4$ は測定された意味のある数として信頼できる「有効な数」であるが、十の位と一の位の $0$ は単に位を示しているだけで、$0$ と計測されたわけではなく信頼できない）。どこまでが有効数字かを明確に示すためには $2.4 \times 10^3$ gのように、（整数部分が1桁の数） $\times$ （$10$の累乗）の形で表記すると分かりやすい。