🔄 最終更新日 2021年5月17日 by takara_semi
３章：2次関数
本章では「2次関数」「2次方程式」「2次不等式」について学習します．
第1節：２次関数とグラフ
❶ 関数とグラフ
2つの変数 $x$，$y$について，$x$の値を決めるとそれに応じて$y$の値がただ1つに定まるとき「$y$は$x$の関数」であるという．
(ii) 2次関数の一般形：$y=ax^2+bx+c$ ただし $a≠0$
$y$が$x$の関数であるとき，$y$を表す$x$の式を$f(x)，g(x)$などと表し，関数$y=f(x)$について，$x$のとり得る値の範囲を，関数$f(x)$の「定義域」といい，定義域の$x$の値に応じて$y$がとる値の範囲を関数$f(x)$の「値域」という．
❷ 2次関数のグラフ
(i) $y=ax^2$ のグラフ
軸が$y$軸，頂点が原点の放物線となる．また$a＞0$のとき下に凸，$a＜0$のとき上に凸のグラフとなる．
(ii) $y=a(x-p)^2+q$ のグラフ
$y=ax^2$のグラフを$x$軸方向に$p$，$y$軸方向に$q$だけ平行移動した放物線となる（グラフの平行移動）．軸は直線$x=p$，頂点は点$(p，q)$となる．
(iii) $y=ax^2+bx+c$ のグラフ
$y=ax^2+bx+c$ を平方完成することで $y=a(x-p)^2+q$ の形に変形すると
$\begin{eqnarray}
y &=& ax^2+bx+c \\
&=& a(x^2+\frac{b}{a}x)+c \\
&=& a(x^2+2\frac{b}{2a}x+\{\frac{b}{2a}\}^2-\{\frac{b}{2a}\}^2)+c \\
&=& a(\{x+\frac{b}{2a}\}^2)-\frac{b^2}{4a}+c \\
&=& a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2-4ac}{4a} \\
&=& a\{x-(-\frac{b}{2a})\}^2+(-\frac{b^2-4ac}{4a}) \\
&=& a(x-p)^2+q
\end{eqnarray}$
となる．ゆえに $y=ax^2+bx+c$ のグラフの軸は直線 $x=-\frac{b}{2a}$，頂点は，点 $(-\frac{b}{2a}, -\frac{b^2-4ac}{4a})$ であることが分かる．
❸ グラフの平行移動・対称移動
関数$y=f(x)$のグラフについて，平行移動・対称移動した場合は以下のような関係が成り立つ．
$y=f(x)$ → $y-q=f(x-p)$ すなわち $y=f(x-p)+q$
(i) $x$軸対称移動：$y=f(x)$ → $-y=f(x)$ すなわち $y=-f(x)$
(ii) $y$軸対称移動：$y=f(x)$ → $y=-f(x)$
(iii) 原点対称移動：$y=f(x)$ → $-y=f(-x)$ すなわち $y=-f(-x)$
第2節：2次関数の値の変化
❶ 2次関数 $y=a(x-p)^2+q$ の最大・最小
$a＞0$ のとき，$x=p$ で最小値 $q$ をとり，最大値はない．
$a＜0$ のとき，$x=p$ で最大値 $q$ をとり，最小値はない．
❷ 関数の定義域に制限のある場合の最大・最小
グラフをかいて，頂点の位置，定義域の両端における $y$ の値に注目する．
❸ 最大・最小の応用
(i) 何を変数 $(x)$ にするかを決め，そのとりうる値の範囲(定義域)を定める．
(ii) 最大・最小を求めようとする量 $(y)$ を，変数 $(x)$ を用いて表す．
(iii) 変数 $(x)$ の定義域に注意して，(b)で表した関数 ($x$の式$y$) の最大・最小を求める．
$y≧0$ のとき，$y$ の最大・最小を求めるのに，まず $y^2$ の最大・最小を求めると簡単な場合がある．このとき，次が成り立つことを利用する．
❹ 2次関数の決定
2次関数の決定のために，与えられた条件によって，その未定の係数を定める．求める2次関数は，条件に適した形を利用する．軸や頂点の条件が与えられた場合は $y=a(x-p)^2+q$ の式を利用し，それ以外の場合は $y=ax^2+bx+c$ の式を利用すれば計算量が少なくなる場合が多い．また，2次関数がある点 $(s,t)$ を通る場合は以下の等式が成り立つことを上手く利用する($y=f(x)$に$(x,y)=(s,t)$を代入すればよい)．
第3節：2次方程式と2次不等式
❶ 2次方程式の解き方
2次方程式を解く方法として，与えられた式に応じて，以下の手法を適宜用いる．
(a) 因数分解：数の積の性質 ｢$AB=0$ ならば $A=0$ または $B=0$｣ を用いる．
(b) $a>0$ のとき，$x^2=a$ の解は $x=±\sqrt{a}$
(c) 解の公式：2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ は以下のように求められる．
$x$ の係数が偶数（つまり $b=2b’$ と置換可能）の場合は以下の公式で計算を簡便化できる．
❷ 2次方程式の係数と実数解
2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ について，判別式を $D=b^2-4ac$ とすると，以下のことが成り立つ．
(ii) $D=0$ ：ただ1つの実数解（重解 $x=\frac{-b}{2a}$ ）をもつ
(iii) $D＜0$ ：実数解をもたない（虚数解を持つがこれは後に学ぶ）
→つまり(i)(ii)を合わせて $D≧0$ のときに実数解をもつ
❸ 2次関数のグラフと$x$軸の位置関係
2次関数 $y=ax^2+bx+c$ のグラフと $x$ 軸の位置関係は，判別式 $D$ の値によって，次のように分別できる．
(ii) $D=0$ ：接する
(iii) $D＜0$ ：共有点をもたない
つまり，2次関数 $y=ax^2+bx+c$ のグラフと2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ について
(a) グラフと$x$軸の共有点の$x$座標 ＝ 方程式の実数解
(b) グラフと$x$軸の共有点の個数 ＝ 方程式の実数解の個数
という関係が成り立つことが分かる．
よって2次関数 $y=a(x-\alpha)(x-\beta)$ のグラフは，$x$ 軸と2点 $(0, \alpha)$，$(0, \beta)$ で交わることがいえる．これは2次方程式$y=a(x-\alpha)(x-\beta)$ の解が $x=\alpha, \beta$ であることから自明である．
❸ 2次不等式の解
2次不等式の解は，2次方程式のグラフと解の関係を踏まえると，以下のように考えることができる（常に簡単なグラフを描いて考えることで，ケアレスミスを大幅に減らすことができる）．ただし 2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の実数解を $\alpha, \beta (\alpha＜\beta)$ (重解の場合は $\alpha$ のみ)とする．
(ii) $D=0$ ： $x=\alpha$ 以外のすべての実数
(iii) $D＜0$ ：すべての実数 (どんな実数を $x$ に代入しても $ax^2+bx+c＞0$ が成り立つ)
(ii) $D=0$ ：すべての実数
(iii) $D＜0$ ：すべての実数
(ii) $D=0$ ：解なし(どんな実数を $x$ に代入しても $ax^2+bx+c＜0$ とはならない)
(iii) $D＜0$ ：解なし
(ii) $D=0$ ：$x=\alpha$
(iii) $D＜0$ ：解なし
※ $a＜0$ のときは，不等式の両辺に $-1$ を掛けて， $x^2$ の係数を正にして考えればよい．
補足・詳説
$\alpha＜\beta$ のとき：
$(x-\alpha)(x-\beta)＞0$ の解は $x＜\alpha$，$\beta＜x$
$(x-\alpha)(x-\beta)＜0$ の解は $\alpha＜x＜\beta$
$(x-\alpha)^2＞0$ の解は $x=\alpha$ 以外のすべての実数
$(x-\alpha)^2＜0$ の解はない
これらの結果は，$x$ に値を代入することで簡単に確認することもできる．また，まとめとして以下が成り立つことが分かる．
2次関数 $y=ax^2+bx+c$ に対して：
常に $ax^2+bx+c＜0$ ⇔ $a＜0$ かつ $D=b^2-4ac＜0$
発展・応用
❶ 放物線と直線の共有点の座標
放物線(2次関数)と直線の共有点については以下のように考えることができる．
(a) 放物線 $y=ax^2+bx+c$ と直線 $y=mx+n$ の共有点の $x$ 座標 ⇔ 2次方程式 $ax^2+bx+c=mx+n$ の実数解
※ 連立方程式 $\begin{cases}
y = & ax^2+bx+c \\
y = & mx+n
\end{cases}$ を解くということ．
(b) (a)において，共有点の個数と2次方程式の実数解の個数は一致する．
・放物線と直線が接する ⇔ 重解をもつ $(D=0)$
・放物線と直線が共有点をもたない ⇔ 実数解をもたない $(D＜0)$
❷ 2次関数のグラフと2次方程式の解の範囲
2次方程式の解の存在範囲について考える．2次関数 $y=f(x)$ について，$f(r)，f(s)$ の符号が異なる($f(r)f(s)＜0$である)と，$r$ と $s$ の間に $f(x)=0$ となる $x$ の値 $\alpha$ が存在することが分かる．すなわち，以下の関係が成り立つ．
$r＜s$ とすると：
