🔄 最終更新日 2021年5月15日 by takara_semi
第２章 集合と命題
本章では「集合」「命題と条件」「命題と証明」について学習する．
第1節：集合
❶ 集合の表し方
集合の表し方は次の通りである．
(a) { }の中に要素を書き並べて表す．例）$A = \{1，2，4，8\}$
(b) 要素が満たすべき条件を書いて表す．例）$A = \{x | xは8の正の約数\}$
集合と集合，集合と要素の関係を表す記号は以下の通りである．
(ii) $x \notin A$：$x$が集合$A$の要素でない
(iii) $A \subset B$ ($A$は$B$の部分集合)：集合$A$のすべての要素が集合$B$の要素でもある
(iv) $A=B$ ($A$と$B$は等しい)：集合$A$と$B$の要素がすべて一致している
(v) $\emptyset$(空集合)：要素が$1$つもない集合
❷ 共通部分と和集合
共通部分と和集合は以下のように表される．
(vii) $A \cup B$ ($A$と$B$の和集合)：集合$A$, $B$の少なくとも一方に属する要素全体の集合
$3$つの集合の共通部分と和集合についても，同様に考えることができる．
(vi)’ $A \cap B \cap C$ (共通部分)：集合$A$, $B$, $C$のすべてに属する要素全体の集合
(vii)’ $A \cup B \cup C$ (和集合)：集合$A$, $B$, $C$の少なくとも１つに属する要素全体の集合
❸ 補集合
補集合は非常に重要な概念である．その意味と表し方は以下の通りである．
また補集合に関する重要な定理としてド・モルガンの定理が知られている．
(b) $\overline{A \cap B}$$=\overline{A} \cup \overline{B}$
第2節：命題と条件
❶ 命題と条件
正しい (真) か正しくない (偽) かが定まる文や式を「命題」といい，文字($x$など)を含んだ文や式を$x$に関する「条件」という．条件を考える場合，条件に含まれる文字がどんな集合の要素かをはっきりさせておく．この集合を，その条件の「全体集合」という．
❷ 命題$p⇒q$
(i) 命題 $p⇒q$ は，｢$p$を満たすものはすべて$q$を満たす｣ ということを表す．$p$を仮定，$q$を結論という．
(ii) 条件$p$を満たすもの全体の集合を$P$，条件$q$を満たすもの全体の集合を$Q$とするとき，｢命題$p⇒q$が真である｣ と ｢$P \subset Q$ が成り立つ｣ とは同じことである．
(ii) 偽である命題$p⇒q$において，$p$を満たすが$q$を満たさないものを反例という．命題が偽であることを示すには，反例を 1つだけあげればよい．
❸ 必要条件・十分条件
必要条件と十分条件は以下のように説明される．
$2$つの条件$p，q$について，命題$p⇒q$が真であるとき
$p$は$q$であるための「十分条件」である
さらに，$2$つの条件$p，q$について，$p⇔q$（$p⇒q$かつ$q⇒p$）が成り立つとき，$p$と$q$は「同値」であるという．このとき$q$は$p$であるための（$p$は$q$であるための）「必要十分条件」であるという．
❹ 否定
条件$p$に対して，｢$p$でない｣ という条件を$p$の「否定」といい，$\overline{p}$で表す．
また条件&p$，$q$に対して，次が成り立つ（ド・モルガンの法則と同じ考え方）．
$\overline{pまたはq}$$⇔\overline{p}かつ\overline{q}$
第3節：命題と証明
❶ 命題の逆・対偶・裏
命題$p⇒q$に対して：
(a) $q⇒p$ を $p⇒q$ の「逆」
(b) $\overline{q}⇒\overline{p}$ を $p⇒q$ の「対偶」
(c) $\overline{p}⇒\overline{q}$ を $p⇒q$ の「裏」
また，命題の真偽について以下のことがいえる．
(ii) 命題 $p⇒q$ とその対偶 $\overline{q}⇒\overline{p}$ の真偽は一致する．
❷ 対偶を利用した証明
命題 $p⇒q$ を証明するために，その対偶 $\overline{q}⇒\overline{p}$ を証明してもよい（真偽が一致するため）．
❸ 背理法を利用した証明
命題が成り立たないと仮定し，その矛盾を導くことにより，もとの命題が真であると結論付けることができる．このような証明方法を「背理法」といい，非常に強力な証明方法の一つである．
