1章：数と式 | タカラゼミ

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🔄 最終更新日 2021年5月26日 by takara_semi

１章：数と式

本章では「式と計算」「実数」「1次不等式」について学習します．

第1節：式と計算

❶ 整式の加法と減法
整式は以下の要領で整理する．
(a) 同類項を1つの項にまとめる．
(b) 1つの文字に着目し，各項を次数が低くなる順に並べて整理する．このことを「降べきの順に整理する」という．整式が答えとなる場合，基本的に降べきの順に整理した形で答える．

❷ 整式の乗法
整式の乗法では指数法則・分配法則・因数分解と展開の公式を用いる．

指数法則

$m,n$が正の整数のとき

$a^m \times a^n = a^{m+n}$, $(a^m)^n = a^{mn}$, $(ab)^n = a^nb^n$

（$m,n$を正の整数に制限しない一般的な指数法則については後に学習する）

分配法則

整式 $A,B,C$ について

$A(B+C)=AB+AC$, $(A+B)C=AC+BC$

因数分解は以下の要領で工夫して実行する．
(a) 共通の因数があればくくり出す．
(b) 因数分解の公式を利用できるように式を整理する．具体的には「次数の最も低い文字について，降べきの順に式を整理する」「置き換えや項の組合わせを考える」などの方法が有効である．
(c) 因数分解の公式を利用する．

因数分解と展開の公式

(1) $(a±b)^2$$=a^2±2ab+b^2$ (複号同順)
(2) $(a+b)(a-b)$$=a^2-b^2$
(3) $(ax+b)(cx+d)$$=acx^2+(ad+bd)x+bd$
(4) $(a+b+c)^2$$=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$
(5) $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$$=\frac{1}{2}\{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\}$
(6) $(a^2+b^2)(x^2+y^2)$$=(ax+by)^2+(ay-by)^2$

　発展・応用　
❶ 3次以上の整式の展開と因数分解
以下の公式などで整理可能である．入試問題などでこれらの知識が問われる場合が多いため，扱いに慣れておくことが望ましい．

因数分解と展開の公式

(1) $(a±b)^3$$=a^3±3a^2b+3ab^2±b^3$ (複号同順)
(2) $a^3±b^3$$=(a±b)(a^2∓ab+b^2)$ (複号同順)
(3) $a^3+b^3+c^3-3abc$$=(a+b+c)$$(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$
(4) $a^n-b^n$$=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+…$$+ab^{n-2}+b^{n-1})$ ($n=2,3,4,…$)
(5) $a^n+b^n$$=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+…$$-ab^{n-2}+b^{n-1})$ ($n$が$3$以上の奇数の場合)

　補足・詳説　
❶ 整式（多項式）
$x$ についての整式（多項式）とは $a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+…$$+a_{n-1}x+a_{n}$ と書かれたもの．

❷ 係数・項
$x$ についての整式 $a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+…$$+a_{n-1}x+a_{n}$ の $a_{0}, a_{1}, … a_{n-1}, a_{n}$ の部分を係数，$a_{0}x^{n}, a_{1}x^{n-1}, … , a_{n-1}x, a_{n}$ を項という．

❸ 次数
係数が$0$でない項の中で，$x^N$ の$N$が最大である場合，その式の次数は$N$（$N$次式，$N$次の整式，高々$N$次の整式）となる．また，$N=0$の場合（定数の場合）は$0$次の整式となる．ただし定数$0$についての次数は定められない．

また$m$次式と$n$次式の2つの整式の積は$(m+n)$次式となる．一方$m$次式と$n$次式の2つの整式の和は
(i) $m＞n$：($m$次式)+($n$次式)=($m$次式)
(ii) $n＞m$：($m$次式)+($n$次式)=($n$次式)
(iii) $m=n$：($m$次式)+($n$次式)=($(m～0)$次式)（高次の項が計算過程で相殺され消える場合があるため，$m=n$の場合の和は$(m～0)$次式となる）

第2節：実数

❶ 実数
自然数$1,2,3,…$と$0$および負の整数$-1,-2,-3,…$とを合わせて「整数」という．また「実数」は有理数と無理数に分類される．「有理数」は分数の形，つまり$\frac{q}{p}$($p,q$は整数，$p≠0$)の形に表される数であり，整数，有限小数，循環小数（いくつかの同じ数字の並びが繰り返される無限小数）がそれに属する．ここで$p,q$の最大公約数が$1$(つまり$p,q$が互いに素な整数)であるような分数を「既約分数」という．「無理数」は分数で表すことのできない数であり，循環しない無限小数が属する．例えば$\sqrt{2}$や$\pi$などが無理数である．

❷ 絶対値・根号
数直線上で，実数$a$に対応する点と原点との距離を$a$の絶対値といい，記号$|a|$で表す．

絶対値の定義

$|a| = \begin{cases}
a & (a≧0) \\
-a & (a＜0)
\end{cases}$

また絶対値の性質として，実数 $a,b$ に対して以下の関係が成り立つ．

絶対値の性質

$|a|≧0$, $|a|≧a$, $|a|≧-a$, $|a|^2=a^2$, $|a||b|=|ab|$,

2乗すると$a$になる数を,$a$の平方根という.正の数$a$の平方根のうち正のものを$\sqrt{a}$，負のものを$-\sqrt{a}$と表す．また,$\sqrt{0}=0$であり，負の数の平方根は実数の範囲では存在しない.

平方根と絶対値の関係

$\sqrt{a^2}=|a|$

平方根の公式

$a＞0,b＞0$のとき

(1) $\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$ (2) $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$ (3) $\sqrt{a^2b}=a\sqrt{b}$

分母の有理化(分母の根号をなくす)が必要な場合は，次のように計算する．$a,b$ が正の有理数，$a-b^2≠0$の場合 $\frac{1}{\sqrt{a}+b}$$=\frac{(\sqrt{a}-b)}{(\sqrt{a}+b)(\sqrt{a}-b)}$$=\frac{\sqrt{a}-b}{a-b^2}$．

　発展・応用　
❶ 2重根号
2重根号が計算過程で出てくる問題は多くある．一見複雑に見える2重根号だが，その扱いに慣れていれば適切に対応できる．そのためには，以下の公式を理解・利用すればよい．

2重根号の外し方

(1) $a＞0,b＞0$ のとき $\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}$$=\sqrt{a}+\sqrt{b}$
(2) $a＞b＞0$のとき $\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}$$=\sqrt{a}-\sqrt{b}$

❷ 2次方程式の解
2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ $(a,b,c$ は実数，$a≠0)$ の解は，平方完成を利用して式を整理することで，以下のようにして求められる．

2次方程式の解の公式

$x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

本公式は利用頻度が多く，暗記しておくことが必須であるが，平方完成を用いて公式を導く方法も理解しておくことが望ましい．また，1次の項の係数が偶数の場合，つまり $ax^2+2b’x+c=0$ $(b=2b’)$ となる場合は以下の公式で計算を簡便化できる．

2次方程式の解の公式(b=2b’)

$x=\frac{-b’±\sqrt{{b’}^2-ac}}{a}$

2つの公式が混同してしまう場合は，基本形の2次方程式の解の公式を理解しておけば十分である．公式の扱いに慣れてきた場合は，問題に応じて使い分けられることが望ましい．

第3節：1次不等式

❶ 不等式の性質
実数の大小関係として，任意の2つの実数$A,B$について$A＞B$, $A=B$, $A＜B$のどれか1つのみが成り立つ．また不等式の計算の基本として以下が成り立つ．

不等式の計算の基本

(1) $A＜B$ ならば $A+C＜B+C$，$A-C＜B-C$
※ 同じ数を加えても引いてもよい
(2) $A＜B$, $C＞0$ ならば $AC＜BC$, $\frac{A}{C}＜\frac{B}{C}$
※ 同じ正の数を掛けても，同じ正の数で割ってもよい
(3) $A＜B$, $C＜0$ ならば $AC＞BC$，$\frac{A}{C}＞\frac{B}{C}$
※ 同じ負の数を掛けたり割ったりすると不等号の向きが変わる
(4) $A＜B$, $C＜D$ ならば $A+C＜B+D$
※ 不等号が同じ向きの不等式は辺々を加えてもよい
(5) $0＜A＜B$, $0＜C＜D$ ならば $AC＜BD$
※ 正ならば不等号が同じ向きの不等式は辺々掛けてもよい

元の不等式が成立しなくなるような計算はしてはいけない．例えば「辺々減じる」「両辺2乗」「辺々掛ける」「0以外の同じ数で割る」などの計算は，不等式が成り立たなくなる反例が存在するため，特別な条件がない場合は基本的に行ってはいけない計算となる．

❷ 1次不等式の解法
1次不等式を解く方法としては，まず式を整理し，$ax＞b$, $ax＜b$, $ax≧b$, $ax≦b$ の形にする。そして両辺を$x$の係数$a$で割ることで解が得られる．$a＜0$のときは不等号の向きが変わることに注意する．つまり整理すると以下のようになる．

1次不等式の解

(i) $ax＞b$の解：

$a＞0$のとき $x＞\frac{b}{a}$
$a＜0$のとき $x＜\frac{b}{a}$

　
　
(ii) $ax＜b$の解：

$a＞0$のとき $x＜\frac{b}{a}$
$a＜0$のとき $x＞\frac{b}{a}$

❸ 連立不等式の解法
連立不等式は以下のように考えることで，解を導くことができる．

連立不等式の解

(i) 連立不等式$\begin{cases}
A＞0& \\
B＞0&
\end{cases}$の解：$A＞0$の解と$B＞0$の解の共通範囲

(ii) 不等式 $A＜B＜C$ の解：$A＜B$と$B＜C$が同時に成り立つことを意味し，連立不等式$\begin{cases}
B＞A& \\
C＞B&
\end{cases}$の解が，不等式 $A＜B＜C$ の解となる

❹ 絶対値を含む方程式・不等式の解法
絶対値を含む方程式・不等式は次のように考えることで解くことができる．

絶対値と方程式・不等式

$x$は実数，$a＞0$とすると

(1) $|x|=a$ の解は $x=±a$
(2) $|x|＜a$ の解は $-a＜x＜a$
(3) $|x|＞a$ の解は $x＜-a, a＜x$
(4) $|f(x)|＜g(x)$$⇔-g(x)＜f(x)＜g(x)$

またグラフを考える必要がある場合は，次のように場合分けをして考える必要がある．

絶対値記号を含む関数

$|f(x)| = \begin{cases}
f(x) & (f(x)≧0) \\
-f(x) & (f(x)＜0)
\end{cases}$

これは絶対値の定義を関数$f(x)$に適用したものであり，絶対値の意味を理解していれば自然な考え方であることが分かる．要点は「絶対値記号を含む関数の問題を解く」＝「場合分けの必要性を考える」ことである．

　発展・応用　
❶ 文字係数の方程式・不等式
文字係数の方程式・不等式を解く場合は，以下のような場合分けが必要となる．

文字係数による場合分け

(i) $a,b$が実数のとき，$x$の方程式$ax=b$の解：

$a≠0$ のとき $x=\frac{b}{a}$
$a=0$ かつ $b≠0$ のとき解なし
$a=0 $かつ $b=0$のときすべての実数

　
　
(ii) $a,b$が実数のとき，$x$の不等式$ax＞b$の解：

$a＞0$ のとき $x＞\frac{b}{a}$
$a＜0$ のとき $x＜\frac{b}{a}$
$a=0$ かつ $b≧0$ のとき解なし
$a=0 $かつ $b＜0$のときすべての実数

また「絶対不等式」については以下のことがいえる．

絶対不等式

$p,q$が実数のとき

すべての実数$x$に対して$px+q>0$ ⇔ $p=0$ かつ $q>0$

❷ 整数部分（ガウス記号）
実数$x$に対し,$x$を超えない最大の整数を$[x]$で表し,これを$x$の整数部分という($[　]$をガウス記号という).つまり, $A≦[x]＜A+1$($A$は整数)のとき,$[x]=A$と表すことができる．また,$[x]=A$であるとき,$x=A+\alpha$($A$は整数,$0≦\alpha＜1$)と表すことができ,$\alpha$を$x$の小数部分という．上記のような性質から，ガウス記号について，以下の不等式が成り立つ．

ガウス記号と不等式

$[x]≦x＜[x]+1$

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１章：数と式

第1節：式と計算

第2節：実数

第3節：1次不等式

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